Was sind Momente in der Statistik?
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Momente in der mathematischen Statistik beinhalten eine Grundrechnung. Diese Berechnungen können verwendet werden, um den Mittelwert, die Varianz und die Schiefe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.
Angenommen, wir haben eine Datenmenge mit insgesamt n diskrete Punkte. Eine wichtige Berechnung, die eigentlich aus mehreren Zahlen besteht, heißt sth moment. Das sZeitpunkt des Datensatzes mit Werten x1, x2, x3,… , xn wird durch die Formel gegeben:
(x1s + x2s + x3s +… + xns) /n
Die Verwendung dieser Formel erfordert von uns, dass wir sorgfältig mit unserer Reihenfolge der Operationen umgehen. Wir müssen zuerst die Exponenten machen, addieren und dann diese Summe durch dividieren n die Gesamtzahl der Datenwerte.
Ein Hinweis zum Begriff "Moment"
Der Begriff Moment wurde aus der Physik genommen. In der Physik wird das Moment eines Punktmassensystems mit einer Formel berechnet, die mit der obigen identisch ist, und diese Formel wird zum Ermitteln des Massenmittelpunkts der Punkte verwendet. In der Statistik sind die Werte keine Massen mehr, aber wie wir sehen werden, messen Momente in der Statistik immer noch etwas relativ zur Mitte der Werte.
Erster Moment
Für den ersten Moment setzen wir s = 1. Die Formel für den ersten Moment lautet also:
(x1x2 + x3 +… + xn) /n
Dies ist identisch mit der Formel für den Stichprobenmittelwert.
Der erste Moment der Werte 1, 3, 6, 10 ist (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Zweiter Moment
Für den zweiten Moment setzen wir s = 2. Die Formel für den zweiten Moment lautet:
(x12 + x22 + x32 +… + xn2) /n
Das zweite Moment der Werte 1, 3, 6, 10 ist (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36,5.
Dritter Moment
Für den dritten Moment setzen wir s = 3. Die Formel für den dritten Moment lautet:
(x13 + x23 + x33 +… + xn3) /n
Das dritte Moment der Werte 1, 3, 6, 10 ist (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.
Höhere Momente können auf ähnliche Weise berechnet werden. Einfach austauschen s in der obigen Formel mit der Zahl, die den gewünschten Moment bezeichnet.
Momente über den Mittelwert
Eine verwandte Idee ist die der sim Moment über den Mittelwert. Bei dieser Berechnung führen wir folgende Schritte durch:
- Berechnen Sie zunächst den Mittelwert der Werte.
- Als nächstes subtrahieren Sie diesen Mittelwert von jedem Wert.
- Erhöhen Sie dann jeden dieser Unterschiede zu sth macht.
- Addieren Sie nun die Zahlen aus Schritt 3.
- Teilen Sie diese Summe schließlich durch die Anzahl der Werte, mit denen wir begonnen haben.
Die Formel für die sim Moment über den Mittelwert m der Werte Werte x1, x2, x3,… , xn wird gegeben durch:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +… + (xn - m)s) /n
Erster Moment über den Mittelwert
Der erste Moment um den Mittelwert ist immer gleich Null, egal mit welchem Datensatz wir arbeiten. Dies ist im Folgenden zu sehen:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +… + (xn - m)) /n = ((x1+ x2 + x3 +… + xn) - nm) /n = m - m = 0.
Zweiter Moment über den Mittelwert
Der zweite Moment über den Mittelwert ergibt sich aus der obigen Formel durch Setzens = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +… + (xn - m)2) /n
Diese Formel entspricht der für die Stichprobenvarianz.
Betrachten Sie beispielsweise die Menge 1, 3, 6, 10. Der Mittelwert dieser Menge wurde bereits mit 5 berechnet. Subtrahieren Sie diesen Wert von jedem der Datenwerte, um Unterschiede zu erhalten von:
- 1 - 5 = -4
- 3 - 5 = -2
- 6 - 5 = 1
- 10 - 5 = 5
Wir quadrieren jeden dieser Werte und addieren sie: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Teilen Sie diese Zahl abschließend durch die Anzahl der Datenpunkte: 46/4 = 11,5
Anwendungen von Momenten
Wie oben erwähnt, ist der erste Moment der Mittelwert und der zweite Moment um den Mittelwert ist die Stichprobenvarianz. Karl Pearson führte die Verwendung des dritten Moments über den Mittelwert bei der Berechnung der Schiefe und des vierten Moments über den Mittelwert bei der Berechnung der Kurtosis ein.
