Was ist das Gegenteil, das Gegenteil und das Gegenteil?

Bedingte Anweisungen erscheinen überall. In der Mathematik oder anderswo dauert es nicht lange, bis man auf etwas in der Form „If P dann Q..”Bedingte Anweisungen sind in der Tat wichtig. Wichtig sind auch Aussagen, die sich auf die ursprüngliche bedingte Aussage beziehen, indem sie die Position von ändern P, Q. und die Verneinung einer Aussage. Ausgehend von einer ursprünglichen Aussage erhalten wir drei neue bedingte Aussagen, die als Umkehrung, Gegenteil und Umkehrung bezeichnet werden.

Negation

Bevor wir das Gegenteil, das Gegenteil und das Gegenteil einer bedingten Aussage definieren, müssen wir das Thema der Negation untersuchen. Jede Aussage in der Logik ist entweder wahr oder falsch. Die Verneinung einer Aussage beinhaltet einfach die Einfügung des Wortes "nicht" an der richtigen Stelle der Aussage. Das Hinzufügen des Wortes "nicht" erfolgt, um den Wahrheitsstatus der Aussage zu ändern.

Es wird hilfreich sein, sich ein Beispiel anzusehen. Die Aussage „Das rechte Dreieck ist gleichseitig“ hat die Negation „Das rechte Dreieck ist nicht gleichseitig“. Die Negation von „10 ist eine gerade Zahl“ ist die Aussage „10 ist keine gerade Zahl“. wir könnten die Definition einer ungeraden Zahl verwenden und stattdessen sagen, dass „10 eine ungerade Zahl ist“. Wir stellen fest, dass die Wahrheit einer Aussage das Gegenteil von der der Negation ist.

Wir werden diese Idee in einer abstrakteren Umgebung untersuchen. Wenn die Aussage P Stimmt, die Aussage „nicht P" ist falsch. Ebenso, wenn P ist falsch, seine Negation nicht P" ist wahr. Negationen werden üblicherweise mit einer Tilde ~ bezeichnet. Also anstatt zu schreiben “nicht P”Wir können ~ schreibenP.

Converse, Contrapositive und Inverse

Jetzt können wir das Gegenteil, das Gegenteil und das Gegenteil einer bedingten Aussage definieren. Wir beginnen mit der bedingten Aussage „If P dann Q.."

• Die Umkehrung der bedingten Aussage ist „If Q. dann P."
• Das Gegenteil der bedingten Aussage ist „Wenn nicht Q. dann nicht P."
• Die Umkehrung der bedingten Anweisung lautet „Wenn nicht P dann nicht Q.."

Wir werden sehen, wie diese Aussagen mit einem Beispiel funktionieren. Angenommen, wir beginnen mit der bedingten Aussage: "Wenn es letzte Nacht geregnet hat, ist der Bürgersteig nass."

• Die Umkehrung der bedingten Aussage lautet: "Wenn der Bürgersteig nass ist, hat es letzte Nacht geregnet."
• Das Gegenteil der bedingten Aussage ist: "Wenn der Bürgersteig nicht nass ist, hat es letzte Nacht nicht geregnet."
• Die Umkehrung der bedingten Aussage lautet: "Wenn es letzte Nacht nicht geregnet hat, ist der Bürgersteig nicht nass."

Logische Äquivalenz

Wir mögen uns fragen, warum es wichtig ist, diese anderen bedingten Aussagen aus unserer ursprünglichen zu bilden. Ein genauer Blick auf das obige Beispiel zeigt etwas. Angenommen, die ursprüngliche Aussage „Wenn es letzte Nacht geregnet hat, dann ist der Bürgersteig nass“ ist wahr. Welche der anderen Aussagen müssen ebenfalls wahr sein??

• Das Gegenteil von "Wenn der Bürgersteig nass ist, dann hat es letzte Nacht geregnet" ist nicht unbedingt wahr. Der Bürgersteig könnte aus anderen Gründen nass sein.
• Das Gegenteil von "Wenn es letzte Nacht nicht geregnet hat, dann ist der Bürgersteig nicht nass" ist nicht unbedingt wahr. Nur weil es nicht geregnet hat, heißt das nicht, dass der Bürgersteig nicht nass ist.
• Das kontrapositive "Wenn der Bürgersteig nicht nass ist, dann hat es letzte Nacht nicht geregnet" ist eine wahre Aussage.

Was wir aus diesem Beispiel sehen (und was mathematisch bewiesen werden kann), ist, dass eine bedingte Aussage den gleichen Wahrheitswert hat wie ihre kontrapositive. Wir sagen, dass diese beiden Aussagen logisch äquivalent sind. Wir sehen auch, dass eine bedingte Anweisung ihrer Umkehrung und Umkehrung nicht logisch äquivalent ist.

Da eine bedingte Aussage und ihre kontrapositiven Aussagen logisch äquivalent sind, können wir dies zu unserem Vorteil nutzen, wenn wir mathematische Theoreme beweisen. Anstatt die Wahrheit einer bedingten Aussage direkt zu beweisen, können wir stattdessen die indirekte Beweisstrategie verwenden, um die Wahrheit der kontrapositiven Aussage zu beweisen. Kontrapositive Beweise funktionieren, weil, wenn das Kontrapositive aufgrund der logischen Äquivalenz wahr ist, auch die ursprüngliche bedingte Aussage wahr ist.

Es stellt sich heraus, dass das Umgekehrte und das Umgekehrte zwar nicht logisch mit der ursprünglichen bedingten Anweisung übereinstimmen, aber logisch miteinander übereinstimmen. Dafür gibt es eine einfache Erklärung. Wir beginnen mit der bedingten Aussage „If Q. dann P”. Das Gegenteil dieser Aussage ist „Wenn nicht P dann nicht Q..”Da das Gegenteil das Gegenteil ist, sind das Gegenteil und das Gegenteil logisch äquivalent.