Additionsregeln in der Wahrscheinlichkeit

Hinzufügungsregeln sind hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit wichtig. Diese Regeln bieten uns eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen. "EIN oder B,vorausgesetzt wir kennen die Wahrscheinlichkeit von EIN und die Wahrscheinlichkeit von B. Manchmal wird das "oder" durch U ersetzt, das Symbol aus der Mengenlehre, das die Vereinigung zweier Mengen bezeichnet. Die genaue zu verwendende Additionsregel hängt davon ab, ob ein Ereignis vorliegt EIN und Ereignis B sich gegenseitig ausschließen oder nicht.

Hinzufügungsregel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Wenn Ereignisse EIN und B sich gegenseitig ausschließen, dann ist die Wahrscheinlichkeit von EIN oder B ist die Summe der Wahrscheinlichkeit von EIN und die Wahrscheinlichkeit von B.  Wir schreiben dies kompakt wie folgt:

P(EIN oder B) = P(EIN) + P(B)

Verallgemeinerte Hinzufügungsregel für zwei beliebige Ereignisse

Die obige Formel kann für Situationen verallgemeinert werden, in denen sich Ereignisse nicht unbedingt gegenseitig ausschließen. Für zwei beliebige Ereignisse EIN und B, die Wahrscheinlichkeit von EIN oder B ist die Summe der Wahrscheinlichkeit von EIN und die Wahrscheinlichkeit von B minus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit von beiden EIN und B:

P(EIN oder B) = P(EIN) + P(B) - P(EIN und B)

Manchmal wird das Wort "und" durch ∩ ersetzt, das Symbol aus der Mengenlehre, das den Schnittpunkt zweier Mengen bezeichnet.

Die Additionsregel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse ist wirklich ein Sonderfall der verallgemeinerten Regel. Das liegt daran, wenn EIN und B sich gegenseitig ausschließen, dann ist die Wahrscheinlichkeit von beiden EIN und B ist null.

Beispiel 1

Wir werden Beispiele für die Verwendung dieser Hinzufügungsregeln sehen. Angenommen, wir ziehen eine Karte aus einem gut gemischten Standardkartenstapel. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass es sich bei der gezogenen Karte um eine Zwei- oder eine Bildkarte handelt. Das Ereignis "eine Bildkarte wird gezogen" schließt sich mit dem Ereignis "eine Zwei wird gezogen" gegenseitig aus, daher müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse addieren.

Es gibt insgesamt 12 Bildkarten, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte zu ziehen, 12/52. Es gibt vier Zweien im Deck und die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu ziehen, ist 4/52. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei- oder eine Bildkarte zu ziehen, 12/52 + 4/52 = 16/52 beträgt.

Beispiel # 2

Nehmen wir nun an, wir ziehen eine Karte aus einem gut gemischten Standardkartenstapel. Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, eine rote Karte oder ein Ass zu ziehen. In diesem Fall schließen sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig aus. Das Ass der Herzen und das Ass der Diamanten sind Elemente des Satzes der roten Karten und des Satzes der Asse.

Wir betrachten drei Wahrscheinlichkeiten und kombinieren sie dann mit der verallgemeinerten Additionsregel:

• Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen, liegt bei 26/52
• Die Wahrscheinlichkeit ein Ass zu ziehen ist 4/52
• Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte und ein Ass zu ziehen, beträgt 2/52

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte oder ein Ass zu ziehen, 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 beträgt.