Beispiele für unzählige Mengen

Nicht alle unendlichen Mengen sind gleich. Eine Möglichkeit, zwischen diesen Mengen zu unterscheiden, besteht darin, zu fragen, ob die Menge zählbar unendlich ist oder nicht. Auf diese Weise sagen wir, dass unendliche Mengen entweder zählbar oder unzählbar sind. Wir werden einige Beispiele für unendliche Mengen betrachten und bestimmen, welche davon unzählbar sind.

Zählbar unendlich

Wir schließen zunächst einige Beispiele für unendliche Mengen aus. Viele der unendlichen Mengen, an die wir sofort denken würden, sind zählbar unendlich. Dies bedeutet, dass sie in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden können.

Die natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen und rationalen Zahlen sind unendlich. Jede Vereinigung oder Überschneidung von zählbar unendlichen Mengen ist ebenfalls zählbar. Das kartesische Produkt beliebig vieler zählbarer Mengen ist zählbar. Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist ebenfalls abzählbar.

Unzähligen

Die gebräuchlichste Art, unzählige Mengen einzuführen, ist die Betrachtung des Intervalls (0, 1) von reellen Zahlen. Aus dieser Tatsache und der Eins-zu-Eins-Funktion f( x ) = bx + ein. es ist eine einfache Folgerung zu zeigen, dass jedes Intervall (ein, b) von reellen Zahlen ist unzählig unendlich.

Der gesamte Satz reeller Zahlen ist ebenfalls unzählbar. Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist die Verwendung der Eins-zu-Eins-Tangentenfunktion f ( x ) = Bräune x. Der Bereich dieser Funktion ist das Intervall (-π / 2, π / 2), eine unzählige Menge, und der Bereich ist die Menge aller reellen Zahlen.

Andere unzählige Sets

Die Operationen der Basismengen-Theorie können verwendet werden, um weitere Beispiele für unzählige Mengen zu erzeugen:

• Wenn EIN ist eine Teilmenge von B und EIN ist unzählig, so ist B. Dies liefert einen einfacheren Beweis dafür, dass der gesamte Satz reeller Zahlen unzählbar ist.
• Wenn EIN ist unzählig und B ist irgendein Satz, dann die Vereinigung EIN U B ist auch unzählig.
• Wenn EIN ist unzählig und B ist irgendein Satz, dann das kartesische Produkt EIN x B ist auch unzählig.
• Wenn EIN ist unendlich (auch abzählbar unendlich) dann ist die Potenz von EIN ist unzählig.

Zwei weitere Beispiele, die sich aufeinander beziehen, sind etwas überraschend. Nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen ist unzählig unendlich (in der Tat bilden die rationalen Zahlen eine abzählbare Teilmenge der Realzahlen, die auch dicht ist). Bestimmte Teilmengen sind unzählige.

Eine dieser unzähligen Untermengen beinhaltet bestimmte Arten von Dezimalerweiterungen. Wenn wir zwei Ziffern auswählen und jede mögliche Dezimalerweiterung nur mit diesen beiden Ziffern bilden, ist die resultierende unendliche Menge unzählig.

Ein anderes Set ist komplizierter zu konstruieren und auch unzählig. Beginnen Sie mit dem geschlossenen Intervall [0,1]. Entfernen Sie das mittlere Drittel dieses Satzes, was zu [0, 1/3] U [2/3, 1] führt. Entfernen Sie nun das mittlere Drittel aller verbleibenden Teile des Sets. Also werden (1/9, 2/9) und (7/9, 8/9) entfernt. Wir machen so weiter. Die Menge der Punkte, die verbleibt, nachdem alle diese Intervalle entfernt wurden, ist kein Intervall, es ist jedoch unzählig unendlich. Dieses Set wird als Cantor-Set bezeichnet.

Es gibt unendlich viele unzählige Mengen, aber die obigen Beispiele sind einige der am häufigsten vorkommenden Mengen.