Fakten zur Nummer e 2.7182818284590452…

Wenn Sie jemanden bitten, seine mathematische Lieblingskonstante zu benennen, erhalten Sie wahrscheinlich ein fragendes Aussehen. Nach einer Weile kann sich jemand freiwillig melden, dass die beste Konstante pi ist. Dies ist jedoch nicht die einzige wichtige mathematische Konstante. Eine knappe Sekunde, wenn nicht der Anwärter auf die Krone der allgegenwärtigsten Konstante, ist e. Diese Zahl erscheint in der Analysis, in der Zahlentheorie, in der Wahrscheinlichkeit und in der Statistik. Wir werden einige der Merkmale dieser bemerkenswerten Zahl untersuchen und herausfinden, welche Zusammenhänge sie mit Statistiken und Wahrscheinlichkeiten hat.

Wert von e

Wie pi, e ist eine irrationale reelle Zahl. Dies bedeutet, dass es nicht als Bruch geschrieben werden kann und dass seine Dezimalerweiterung ohne sich wiederholenden Zahlenblock, der sich ständig wiederholt, für immer weitergeht. Die Nummer e ist auch transzendental, was bedeutet, dass es nicht die Wurzel eines Nicht-Null-Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die ersten fünfzig Dezimalstellen von sind gegeben durch e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Definition von e

Die Nummer e wurde von Leuten entdeckt, die neugierig auf Zinseszins waren. Bei dieser Form von Zinsen verdient der Kapitalgeber Zinsen, und dann verdient das erzeugte Interesse Zinsen für sich. Es wurde beobachtet, dass je häufiger Zinsperioden pro Jahr angesetzt wurden, desto höher war der Zinsertrag. Zum Beispiel könnten wir das Interesse betrachten, das zusammengesetzt wird:

• Jährlich oder einmal im Jahr
• Halbjährlich oder zweimal im Jahr
• Monatlich oder 12 Mal im Jahr
• Täglich oder 365 Mal im Jahr

Der Gesamtbetrag der Zinsen erhöht sich für jeden dieser Fälle.

Es stellte sich die Frage, wie viel Geld möglicherweise mit Zinsen verdient werden könnte. Um noch mehr Geld zu verdienen, könnten wir theoretisch die Anzahl der Zinsperioden auf eine so hohe Zahl erhöhen, wie wir wollten. Das Endergebnis dieses Anstiegs ist, dass wir davon ausgehen würden, dass die Zinsen kontinuierlich aufgestockt werden.

Während das generierte Interesse zunimmt, geschieht dies sehr langsam. Der gesamte Geldbetrag auf dem Konto stabilisiert sich tatsächlich, und der Wert, auf den sich dieser stabilisiert, ist e. Um dies mit einer mathematischen Formel auszudrücken, sagen wir, dass die Grenze as n Erhöhungen von (1 + 1 /n)ⁿ = e.

Verwendungen von e

Die Nummer e zeigt sich in der gesamten Mathematik. Hier sind einige Orte, an denen es auftaucht:

• Es ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Seitdem hat Napier die Logarithmen erfunden, e wird manchmal als Napiers Konstante bezeichnet.
• In der Analysis die Exponentialfunktion e^x hat die einzigartige Eigenschaft, sein eigenes Derivat zu sein.
• Ausdrücke mit e^x und e^-x kombinieren, um die hyperbolischen Sinus- und hyperbolischen Cosinusfunktionen zu bilden.
• Dank der Arbeit von Euler wissen wir, dass die Grundkonstanten der Mathematik durch die Formel zusammenhängen e^iΠ +1 = 0, wo ich ist die imaginäre Zahl, die die Quadratwurzel des negativen ist.
• Die Nummer e Zeigt sich in verschiedenen Formeln in der gesamten Mathematik, insbesondere im Bereich der Zahlentheorie.

Der Wert e in der Statistik

Die Wichtigkeit der Nummer e beschränkt sich nicht nur auf einige Bereiche der Mathematik. Es gibt auch mehrere Verwendungen der Nummer e in Statistik und Wahrscheinlichkeit. Einige davon sind wie folgt:

• Die Nummer e erscheint in der Formel für die Gammafunktion.
• Die Formeln für die Standardnormalverteilung beinhalten e zu einer negativen Kraft. Diese Formel schließt auch pi ein.
• Bei vielen anderen Distributionen wird die Nummer verwendet e. Beispielsweise enthalten die Formeln für die t-Verteilung, die Gamma-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung alle die Zahl e.