So berechnen Sie die Varianz einer Poisson-Verteilung

Die Varianz einer Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein wichtiges Merkmal. Diese Zahl gibt die Streuung einer Verteilung an und wird durch Quadrieren der Standardabweichung ermittelt. Eine häufig verwendete diskrete Verteilung ist die der Poisson-Verteilung. Wir werden sehen, wie die Varianz der Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ berechnet wird.

Die Poisson-Verteilung

Poisson-Verteilungen werden verwendet, wenn wir ein Kontinuum haben und diskrete Änderungen innerhalb dieses Kontinuums zählen. Dies geschieht, wenn wir die Anzahl der Personen berücksichtigen, die innerhalb einer Stunde an einem Kinokassenschalter ankommen, die Anzahl der Autos verfolgen, die über eine Kreuzung mit einem Vierwegehalt fahren, oder die Anzahl der in einer Länge auftretenden Mängel zählen aus Draht.

Wenn wir in diesen Szenarien einige klarstellende Annahmen treffen, stimmen diese Situationen mit den Bedingungen für einen Poisson-Prozess überein. Wir sagen dann, dass die Zufallsvariable, die die Anzahl der Änderungen zählt, eine Poisson-Verteilung hat.

Die Poisson-Verteilung bezieht sich tatsächlich auf eine unendliche Familie von Verteilungen. Diese Verteilungen sind mit einem einzigen Parameter λ ausgestattet. Der Parameter ist eine positive reelle Zahl, die eng mit der erwarteten Anzahl der im Kontinuum beobachteten Änderungen zusammenhängt. Außerdem werden wir sehen, dass dieser Parameter nicht nur dem Mittelwert der Verteilung entspricht, sondern auch der Varianz der Verteilung.

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine Poisson-Verteilung ist gegeben durch:

f(x) = (λx e-λ) /x!

In diesem Ausdruck der Brief e ist eine Zahl und ist die mathematische Konstante mit einem Wert von ungefähr 2.718281828. Die Variable x kann eine beliebige nichtnegative ganze Zahl sein.

Berechnung der Varianz

Um den Mittelwert einer Poisson-Verteilung zu berechnen, verwenden wir die Momenterzeugungsfunktion dieser Verteilung. Wir sehen das:

M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λx e-λ) /x!

Wir erinnern uns jetzt an die Maclaurin-Reihe für e^u. Da jede Ableitung der Funktion e^u ist e^u, Alle diese mit Null bewerteten Derivate ergeben den Wert 1. Das Ergebnis ist die Serie e^u = Σ uⁿ/n!.

Mit der Maclaurin-Serie für e^u, wir können die momenterzeugende Funktion nicht als eine Reihe, sondern in einer geschlossenen Form ausdrücken. Wir kombinieren alle Terme mit dem Exponenten von x. Somit M(t) = e^{λ (et - 1)}.

Wir finden jetzt die Varianz, indem wir die zweite Ableitung von nehmen M und dies bei Null zu bewerten. Schon seit M'(t) = λe^tM(t) verwenden wir die Produktregel, um die zweite Ableitung zu berechnen:

M"(t) = λ2e2tM'(t) + λetM(t)

Wir bewerten dies bei Null und finden das M"(0) = λ² + λ. Wir nutzen dann die Tatsache, dass M'(0) = λ zur Berechnung der Varianz.

Var (X) = λ2 + λ - (λ)2 = λ.

Dies zeigt, dass der Parameter λ nicht nur der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist, sondern auch deren Varianz.