Wie man die Kurtosis von Verteilungen klassifiziert

Datenverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben nicht alle dieselbe Form. Einige sind asymmetrisch und nach links oder rechts geneigt. Andere Verteilungen sind bimodal und haben zwei Spitzen. Ein weiteres Merkmal, das zu berücksichtigen ist, wenn über eine Verteilung gesprochen wird, ist die Form der Schwänze der Verteilung ganz links und ganz rechts. Kurtosis ist das Maß für die Dicke oder Schwere der Schwänze einer Verteilung. Die Kurtosis einer Verteilung wird in drei Kategorien eingeteilt:

• Mesokurtikum
• Leptokurtikum
• Platykurtic

Wir werden jede dieser Klassifikationen der Reihe nach betrachten. Wir werden diese Kategorien nicht so genau untersuchen, wie wir es könnten, wenn wir die technisch-mathematische Definition von Kurtosis verwenden würden.

Mesokurtikum

Die Kurtosis wird typischerweise in Bezug auf die Normalverteilung gemessen. Eine Verteilung, deren Schwanz ungefähr so ​​geformt ist wie eine normale Verteilung, und nicht nur die normale Normalverteilung, wird als mesokurtisch bezeichnet. Die Kurtosis einer mesokurtischen Verteilung ist weder hoch noch niedrig, sondern wird als Basis für die beiden anderen Klassifikationen angesehen.

Neben Normalverteilungen, für die Binomialverteilungen p in der Nähe von 1/2 gelten als mesokurtisch.

Leptokurtikum

Eine leptokurtische Verteilung hat eine größere Kurtosis als eine mesokurtische Verteilung. Leptokurtische Verteilungen werden manchmal durch Peaks identifiziert, die dünn und hoch sind. Die Schwänze dieser Verteilungen rechts und links sind dick und schwer. Leptokurtische Verteilungen werden mit dem Präfix "lepto" benannt, was "dünn" bedeutet.

Es gibt viele Beispiele für leptokurtische Verteilungen. Eine der bekanntesten leptokurtischen Verteilungen ist die Student-t-Verteilung.

Platykurtic

Die dritte Klassifikation für Kurtosis ist platykurtic. Platykurtische Verteilungen sind solche mit schlanken Schwänzen. Oft haben sie einen Peak, der niedriger ist als die mesokurtische Verteilung. Der Name dieser Verteilungsarten stammt von der Bedeutung des Präfixes "platy" für "broad".

Alle Gleichverteilungen sind platykurtisch. Darüber hinaus ist die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung von einem einzelnen Münzwurf platykurtisch.

Berechnung der Kurtosis

Diese Klassifikationen der Kurtosis sind immer noch etwas subjektiv und qualitativ. Wir können zwar feststellen, dass eine Verteilung dickere Schwänze als eine Normalverteilung hat, aber was ist, wenn wir nicht das Diagramm einer Normalverteilung zum Vergleich haben? Was ist, wenn wir sagen wollen, dass eine Distribution leptokurtischer ist als eine andere??

Um diese Art von Fragen zu beantworten, benötigen wir nicht nur eine qualitative Beschreibung der Kurtosis, sondern ein quantitatives Maß. Die verwendete Formel lautet μ₄/ σ⁴ wo μ₄ ist Pearsons vierter Moment um den Mittelwert und Sigma ist die Standardabweichung.

Übermäßige Kurtosis

Nachdem wir nun die Möglichkeit haben, die Kurtosis zu berechnen, können wir die erhaltenen Werte anstatt der Formen vergleichen. Die Normalverteilung hat eine Kurtosis von drei. Dies wird nun zu unserer Basis für mesokurtische Verteilungen. Eine Verteilung mit einer Kurtosis von mehr als drei ist leptokurtisch und eine Verteilung mit einer Kurtosis von weniger als drei ist platykurtisch.

Da wir eine mesokurtische Verteilung als Basis für unsere anderen Verteilungen behandeln, können wir drei von unserer Standardberechnung für Kurtosis abziehen. Die Formel μ₄/ σ⁴ - 3 ist die Formel für überschüssige Kurtosis. Wir könnten dann eine Verteilung anhand ihrer überschüssigen Kurtosis klassifizieren:

• Mesokurtische Verteilungen haben eine überschüssige Kurtosis von Null.
• Platykurtische Verteilungen weisen eine negative überschüssige Kurtosis auf.
• Leptokurtic Verteilungen haben positive überschüssige Kurtosis.