Einführung in die Vektormathematik

Dies ist eine grundlegende, wenn auch hoffentlich ziemlich umfassende Einführung in die Arbeit mit Vektoren. Vektoren manifestieren sich auf vielfältige Weise von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung bis hin zu Kräften und Feldern. Dieser Artikel widmet sich der Mathematik der Vektoren; Ihre Anwendung in bestimmten Situationen wird an anderer Stelle behandelt.

Vektoren und Skalare

EIN Anzahl der Vektoren, oder Vektor, gibt nicht nur Auskunft über die Größe, sondern auch über die Richtung der Menge. Wenn Sie einem Haus eine Wegbeschreibung geben, reicht es nicht aus, zu sagen, dass es 16 km entfernt ist, aber die Richtung dieser 16 km muss ebenfalls angegeben werden, damit die Informationen nützlich sind. Variablen, bei denen es sich um Vektoren handelt, werden mit einer fettgedruckten Variablen angezeigt, obwohl es üblich ist, Vektoren zu sehen, die mit kleinen Pfeilen über der Variablen gekennzeichnet sind.

So wie wir nicht sagen, dass das andere Haus -10 Meilen entfernt ist, ist die Größe eines Vektors immer eine positive Zahl, oder vielmehr der absolute Wert der "Länge" des Vektors (obwohl die Menge möglicherweise keine Länge ist, Dies kann eine Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft usw. sein.) Ein negativer Wert vor einem Vektor bedeutet keine Änderung der Größe, sondern vielmehr der Richtung des Vektors.

In den obigen Beispielen ist Abstand die skalare Größe (10 Meilen) aber Verschiebung ist die Vektorgröße (10 Meilen nach Nordosten). In ähnlicher Weise ist Geschwindigkeit eine skalare Größe, während Geschwindigkeit eine Vektorgröße ist.

EIN Einheitsvektor ist ein Vektor, der eine Größe von eins hat. Ein Vektor, der einen Einheitsvektor darstellt, ist normalerweise auch fett gedruckt, obwohl er ein Karat hat (^) darüber, um die Einheitennatur der Variablen anzugeben. Der Einheitsvektor x, Wenn es mit einem Karat geschrieben wird, wird es im Allgemeinen als "x-hat" gelesen, da das Karat auf der Variablen wie ein Hut aussieht.

Das Nullvektor, oder Nullvektor, ist ein Vektor mit einer Größe von Null. Es ist geschrieben als 0 In diesem Artikel.

Vektorkomponenten

Vektoren orientieren sich im Allgemeinen an einem Koordinatensystem, von denen das bekannteste die zweidimensionale kartesische Ebene ist. Die kartesische Ebene hat eine horizontale Achse mit der Bezeichnung x und eine vertikale Achse mit der Bezeichnung y. Einige fortgeschrittene Anwendungen von Vektoren in der Physik erfordern die Verwendung eines dreidimensionalen Raums, in dem die Achsen x, y und z sind. Dieser Artikel befasst sich hauptsächlich mit dem zweidimensionalen System, obwohl die Konzepte mit einiger Sorgfalt ohne großen Aufwand auf drei Dimensionen erweitert werden können.

Vektoren in mehrdimensionalen Koordinatensystemen können in ihre Teile zerlegt werden Komponentenvektoren. Im zweidimensionalen Fall führt dies zu a x-Komponente und ein y-Komponente. Beim Aufteilen eines Vektors in seine Komponenten ist der Vektor eine Summe der Komponenten:

F = F_x + F_y

ThetaF_xF_yF

F_x / F = cos Theta und F_y / F = Sünde Thetawas uns gibt
F_x = F cos Theta und F_y = F Sünde Theta

Beachten Sie, dass die Zahlen hier die Größen der Vektoren sind. Wir kennen die Richtung der Komponenten, aber wir versuchen, ihre Größe zu ermitteln. Daher entfernen wir die Richtungsinformationen und führen diese Skalarberechnungen durch, um die Größe zu ermitteln. Eine weitere Anwendung der Trigonometrie kann verwendet werden, um andere Beziehungen (wie die Tangente) zu finden, die sich auf einige dieser Größen beziehen, aber ich denke, das reicht für den Moment.

Viele Jahre lang lernt ein Schüler nur Skalarmathematik. Wenn Sie 5 Meilen nach Norden und 5 Meilen nach Osten reisen, sind Sie 10 Meilen gereist. Beim Hinzufügen skalarer Mengen werden alle Informationen zu den Richtungen ignoriert.

Vektoren werden etwas anders manipuliert. Die Richtung muss bei der Manipulation immer berücksichtigt werden.

Komponenten hinzufügen

Wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen, ist es so, als hätten Sie die Vektoren durchgehend platziert und einen neuen Vektor erstellt, der vom Startpunkt zum Endpunkt verläuft. Wenn die Vektoren dieselbe Richtung haben, bedeutet dies nur, dass die Größen addiert werden. Wenn sie jedoch unterschiedliche Richtungen haben, kann dies komplexer werden.