Quasiconcave Utility-Funktionen

"Quasiconcave" ist ein mathematisches Konzept, das verschiedene Anwendungen in der Wirtschaftswissenschaft hat. Um die Bedeutung der Anwendungen des Begriffs in der Wirtschaft zu verstehen, ist es hilfreich, mit einer kurzen Betrachtung der Ursprünge und der Bedeutung des Begriffs in der Mathematik zu beginnen.

Ursprünge des Begriffs

Der Begriff "quasiconcave" wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts in die Arbeit von John von Neumann, Werner Fenchel und Bruno de Finetti eingeführt, die alle prominente Mathematiker sind, die sich sowohl für theoretische als auch für angewandte Mathematik interessieren und auf Gebieten wie der Wahrscheinlichkeitstheorie forschen Spieltheorie und -topologie legten schließlich den Grundstein für ein unabhängiges Forschungsfeld, das als "generalisierte Konvexität" bekannt ist. Während der Begriff "Quasikonkave" in vielen Bereichen, einschließlich der Wirtschaft, Anwendung findet, stammt er aus dem Bereich der verallgemeinerten Konvexität als topologischem Konzept.

Definition der Topologie

Die kurze und lesbare Erklärung der Topologie von Wayne State Mathematics Professor Robert Bruner beginnt mit dem Verständnis, dass Topologie eine spezielle Form der Geometrie ist. Was die Topologie von anderen geometrischen Studien unterscheidet, ist, dass die Topologie geometrische Figuren als im Wesentlichen ("topologisch") äquivalent behandelt, wenn man sie durch Biegen, Verdrehen und anderweitiges Verzerren ineinander verwandeln kann.

Das klingt ein wenig seltsam, aber wenn Sie einen Kreis nehmen und aus vier Richtungen zu quetschen beginnen, können Sie mit vorsichtigem Quetschen ein Quadrat erzeugen. Ein Quadrat und ein Kreis sind also topologisch äquivalent. Ebenso können Sie ein Dreieck in ein Quadrat verwandeln, wenn Sie eine Seite eines Dreiecks biegen, bis Sie irgendwo auf dieser Seite eine andere Ecke erstellt haben. Auch hier sind ein Dreieck und ein Quadrat topologisch äquivalent. 

Quasiconcave als topologische Eigenschaft

Quasiconcave ist eine topologische Eigenschaft, die die Konkavität umfasst. Wenn Sie eine mathematische Funktion grafisch darstellen und die Grafik mehr oder weniger wie eine schlecht gefertigte Schüssel mit ein paar Unebenheiten aussieht, aber immer noch eine Vertiefung in der Mitte und zwei nach oben geneigte Enden aufweist, ist dies eine quasikonkave Funktion.

Es stellt sich heraus, dass eine konkave Funktion nur eine bestimmte Instanz einer quasikonkaven Funktion ist - eine ohne die Unebenheiten. Aus der Sicht eines Laien (ein Mathematiker hat eine strengere Art, es auszudrücken) umfasst eine quasikonkave Funktion alle konkaven Funktionen und auch alle Funktionen, die insgesamt konkav sind, aber Abschnitte haben können, die tatsächlich konvex sind. Stellen Sie sich erneut eine schlecht gemachte Schüssel mit ein paar Beulen und Vorsprüngen vor. 

Anwendungen in der Wirtschaft

Eine Möglichkeit, Verbraucherpräferenzen (sowie viele andere Verhaltensweisen) mathematisch darzustellen, ist die Verwendung einer Utility-Funktion. Wenn Verbraucher beispielsweise Gut A gegenüber Gut B bevorzugen, drückt die Nutzfunktion U diese Präferenz aus als:

                                 U (A)> U (B)

Wenn Sie diese Funktion für eine reale Gruppe von Verbrauchern und Gütern grafisch darstellen, sieht die Grafik möglicherweise eher wie eine Schüssel aus - und nicht wie eine gerade Linie, sondern wie ein Durchhang in der Mitte. Dieser Rückgang entspricht im Allgemeinen der Risikoaversion der Verbraucher. Wiederum ist diese Abneigung in der realen Welt nicht konsistent: Das Diagramm der Verbraucherpräferenzen sieht ein bisschen aus wie eine unvollkommene Schüssel mit einer Reihe von Unebenheiten. Anstatt konkav zu sein, ist es im Allgemeinen konkav, aber nicht an jedem Punkt des Diagramms, der kleinere konvexe Abschnitte aufweisen kann.

Mit anderen Worten, unsere Beispielgrafik der Kundenpräferenzen (ähnlich wie viele Beispiele aus der Praxis) ist quasiconcave. Sie erzählen jedem, der mehr über Konsumverhaltensökonomen und Unternehmen, die Konsumgüter verkaufen, wissen möchte, zum Beispiel, wo und wie Kunden auf Änderungen in guten Mengen oder Kosten reagieren.