Probenahme mit oder ohne Ersatz

Die statistische Probenahme kann auf verschiedene Arten erfolgen. Zusätzlich zu der Art der Stichprobenmethode, die wir verwenden, gibt es eine weitere Frage, die sich darauf bezieht, was speziell mit einer Person geschieht, die wir zufällig ausgewählt haben. Diese Frage, die sich bei der Stichprobe stellt, lautet: "Was machen wir mit der Person, nachdem wir eine Person ausgewählt und die Messung des von uns untersuchten Attributs aufgezeichnet haben?"

Es gibt zwei Möglichkeiten:

• Wir können die Person wieder in den Pool zurückversetzen, aus dem wir Proben entnehmen.
• Wir können uns dafür entscheiden, die Person nicht zu ersetzen. 

Wir können sehr leicht erkennen, dass dies zu zwei unterschiedlichen Situationen führt. Bei der ersten Option lässt der Ersatz die Möglichkeit offen, dass die Person ein zweites Mal zufällig ausgewählt wird. Bei der zweiten Option ist es unmöglich, dieselbe Person zweimal auszuwählen, wenn wir ersatzlos arbeiten. Wir werden sehen, dass dieser Unterschied die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für diese Stichproben beeinflusst.

Auswirkung auf Wahrscheinlichkeiten

Betrachten Sie die folgende Beispielfrage, um zu sehen, wie die Ersetzung die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beeinflusst. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Asse aus einem Standardkartenstapel zu ziehen??

Diese Frage ist nicht eindeutig. Was passiert, wenn wir die erste Karte gezogen haben? Legen wir es zurück ins Deck oder lassen wir es weg?? 

Wir beginnen mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit Ersatz. Es gibt vier Asse und insgesamt 52 Karten, sodass die Wahrscheinlichkeit, ein As zu ziehen, 4/52 beträgt. Wenn wir diese Karte ersetzen und erneut ziehen, ist die Wahrscheinlichkeit erneut 4/52. Diese Ereignisse sind unabhängig, daher multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten (4/52) x (4/52) = 1/169 oder ungefähr 0,592%..

Jetzt werden wir dies mit der gleichen Situation vergleichen, mit der Ausnahme, dass wir die Karten nicht ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Ziehung ein Ass zu ziehen, beträgt weiterhin 4/52. Bei der zweiten Karte wird davon ausgegangen, dass bereits ein Ass gezogen wurde. Wir müssen jetzt eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Mit anderen Worten, wir müssen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein zweites Ass zu ziehen, da die erste Karte auch ein Ass ist.

Von insgesamt 51 Karten sind noch drei Asse übrig. Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines zweiten Asses nach dem Ziehen eines Asses ist also 3/51. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Asse ohne Ersatz zu ziehen, beträgt (4/52) x (3/51) = 1/221 oder ungefähr 0,425%..

Wir sehen direkt aus dem obigen Problem, dass das, was wir mit dem Ersetzen tun, einen Einfluss auf die Werte der Wahrscheinlichkeiten hat. Diese Werte können erheblich geändert werden.

Bevölkerungsgrößen

Es gibt Situationen, in denen die Probenahme mit oder ohne Austausch keine wesentlichen Änderungen der Wahrscheinlichkeiten bewirkt. Angenommen, wir wählen zufällig zwei Personen aus einer Stadt mit 50.000 Einwohnern aus, von denen 30.000 weiblich sind.

Wenn wir eine Stichprobe mit Ersatz durchführen, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Auswahl eine Frau zu wählen, mit 30000/50000 = 60% angegeben. Die Wahrscheinlichkeit eines Weibchens bei der zweiten Selektion liegt weiterhin bei 60%. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Personen weiblich sind, beträgt 0,6 x 0,6 = 0,36.

Bei ersatzloser Bemusterung bleibt die erste Wahrscheinlichkeit unberührt. Die zweite Wahrscheinlichkeit ist jetzt 29999/49999 = 0,5999919998…, was extrem nahe an 60% liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide weiblich sind, beträgt 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.

Die Wahrscheinlichkeiten sind technisch unterschiedlich, liegen jedoch nahe genug, um kaum zu unterscheiden zu sein. Aus diesem Grund behandeln wir die Auswahl jedes Individuums, obwohl wir es ersatzlos testen, so oft, als ob sie von den anderen Individuen in der Stichprobe unabhängig wären.

Andere Anwendungen

Es gibt andere Fälle, in denen wir überlegen müssen, ob wir mit oder ohne Ersatzmuster arbeiten sollen. Ein Beispiel hierfür ist Bootstrapping. Diese statistische Technik fällt unter die Überschrift einer Resampling-Technik.