Normalverteilung bei mathematischen Problemen

Die Standardnormalverteilung, die allgemein als Glockenkurve bekannt ist, tritt an verschiedenen Stellen auf. Normalerweise werden mehrere unterschiedliche Datenquellen verteilt. Aufgrund dieser Tatsache kann unser Wissen über die Standardnormalverteilung in einer Reihe von Anwendungen verwendet werden. Wir müssen jedoch nicht für jede Anwendung mit einer anderen Normalverteilung arbeiten. Stattdessen arbeiten wir mit einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1. Wir werden uns einige Anwendungen dieser Verteilung ansehen, die alle mit einem bestimmten Problem verbunden sind.

Beispiel

Angenommen, uns wird gesagt, dass die Körpergrößen erwachsener Männer in einer bestimmten Region der Welt normalerweise mit einem Mittelwert von 70 Zoll und einer Standardabweichung von 2 Zoll verteilt sind.

1. Ungefähr welcher Anteil der erwachsenen Männer ist größer als 73 Zoll?
2. Welcher Anteil erwachsener Männer ist zwischen 72 und 73 Zoll?
3. Welche Größe entspricht dem Punkt, an dem 20% aller erwachsenen Männer größer sind als diese Größe?
4. Welche Größe entspricht dem Punkt, an dem 20% aller erwachsenen Männer kleiner als diese Größe sind?

Lösungen

Stellen Sie vor dem Fortfahren sicher, dass Sie Ihre Arbeit unterbrechen und überarbeiten. Nachstehend finden Sie eine ausführliche Erläuterung der einzelnen Probleme:

1. Wir nutzen unsere z-Bewertungsformel, um 73 in eine standardisierte Bewertung umzuwandeln. Hier berechnen wir (73 - 70) / 2 = 1,5. Es stellt sich also die Frage: Wofür ist das Gebiet unter der Standardnormalverteilung? z größer als 1,5? Konsultieren Sie unsere Tabelle von z-Scores zeigt uns, dass 0,933 = 93,3% der Datenverteilung kleiner ist als z = 1,5. Daher sind 100% - 93,3% = 6,7% der erwachsenen Männer größer als 73 Zoll.
2. Hier wandeln wir unsere Höhen in eine Norm um z-Ergebnis. Wir haben gesehen, dass 73 hat ein z Punktzahl von 1,5. Das z-Punktzahl von 72 ist (72 - 70) / 2 = 1. Wir suchen also die normalverteilte Fläche für 1<z < 1.5. A quick check of the normal distribution table shows that this proportion is 0.933 - 0.841 = 0.092 = 9.2%
3. Hier ist die Frage umgekehrt zu dem, was wir bereits betrachtet haben. Jetzt schauen wir in unserer Tabelle nach, um eine zu finden z-Ergebnis Z^* das entspricht einer Fläche von 0,200 oben. Zur Verwendung in unserer Tabelle stellen wir fest, dass sich hier 0,800 unten befinden. Wenn wir auf den Tisch schauen, sehen wir das z^* = 0,84. Das müssen wir jetzt umsetzen z-Punktzahl zu einer Höhe. Da 0,84 = (x - 70) / 2, bedeutet dies, dass x = 71,68 Zoll.
4. Wir können die Symmetrie der Normalverteilung nutzen und uns die Mühe sparen, den Wert nachzuschlagen z^*. Anstatt von z^* = 0,84, wir haben -0,84 = (x - 70) / 2. Somit x = 68,32 Zoll.

Der Bereich des schattierten Bereichs links von z im obigen Diagramm zeigt diese Probleme. Diese Gleichungen stellen Wahrscheinlichkeiten dar und haben zahlreiche Anwendungen in Statistik und Wahrscheinlichkeit.