Der Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen

In Mathematik und Statistik müssen wir wissen, wie man zählt. Dies gilt insbesondere für einige Wahrscheinlichkeitsprobleme. Angenommen, wir haben insgesamt n Objekte unterscheiden und auswählen möchten r von ihnen. Dies berührt direkt einen Bereich der Mathematik, der als Kombinatorik bekannt ist, nämlich das Studium des Zählens. Zwei der Hauptmethoden, um diese zu zählen r Objekte aus n Elemente werden Permutationen und Kombinationen genannt. Diese Konzepte sind eng miteinander verwandt und leicht zu verwechseln.

Was ist der Unterschied zwischen einer Kombination und einer Permutation? Die Schlüsselidee ist die der Ordnung. Bei einer Permutation wird auf die Reihenfolge geachtet, in der wir unsere Objekte auswählen. Derselbe Satz von Objekten, jedoch in einer anderen Reihenfolge, ergibt unterschiedliche Permutationen. Bei einer Kombination wählen wir noch aus r Objekte von insgesamt n, aber die Reihenfolge wird nicht mehr berücksichtigt.

Ein Beispiel für Permutationen

Um zwischen diesen Ideen zu unterscheiden, betrachten wir das folgende Beispiel: Wie viele Permutationen gibt es von zwei Buchstaben aus der Menge ABC?

Hier listen wir alle Elementpaare aus der angegebenen Menge auf, wobei wir auf die Reihenfolge achten. Es gibt insgesamt sechs Permutationen. Die Liste all dieser sind: ab, ba, bc, cb, ac und ca. Beachten Sie das als Permutationen ab und ba sind anders, weil in einem Fall ein wurde zuerst gewählt, und in der anderen ein wurde an zweiter Stelle gewählt.

Ein Beispiel für Kombinationen

Nun werden wir die folgende Frage beantworten: Wie viele Kombinationen gibt es aus zwei Buchstaben aus der Menge ABC?

Da es sich um Kombinationen handelt, interessiert uns die Reihenfolge nicht mehr. Wir können dieses Problem lösen, indem wir auf die Permutationen zurückblicken und dann diejenigen eliminieren, die dieselben Buchstaben enthalten. Als Kombinationen, ab und ba werden als gleich angesehen. Somit gibt es nur drei Kombinationen: ab, ac und bc.

Formeln

In Situationen mit größeren Mengen ist es zu zeitaufwändig, alle möglichen Permutationen oder Kombinationen aufzulisten und das Endergebnis zu zählen. Glücklicherweise gibt es Formeln, die uns die Anzahl der Permutationen oder Kombinationen von geben n Gegenstände genommen r zu einer Zeit.

In diesen Formeln verwenden wir die Kurzschreibweise von n! namens n Fakultät. Die Fakultät sagt einfach, dass alle positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich multipliziert werden sollen n zusammen. Also zum Beispiel 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Definitionsgemäß 0! = 1.

Die Anzahl der Permutationen von n Gegenstände genommen r zu einem Zeitpunkt wird durch die Formel gegeben:

P(n,r) = n!/ (n - r)!

Die Anzahl der Kombinationen von n Gegenstände genommen r zu einem Zeitpunkt wird durch die Formel gegeben:

C(n,r) = n!/ [r!(n - r)!]

Formeln bei der Arbeit

Schauen wir uns das erste Beispiel an, um zu sehen, wie die Formeln funktionieren. Die Anzahl der Permutationen eines Satzes von drei Objekten, die zu zwei gleichzeitig genommen werden, ist gegeben durch P(3,2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. Dies entspricht genau dem, was wir durch Auflisten aller Permutationen erhalten haben.

Die Anzahl der Kombinationen eines Satzes von drei Objekten, die jeweils zu zwei genommen werden, ergibt sich aus:

C(3,2) = 3! / [2! (3-2)!] = 6/2 = 3. Auch dies stimmt genau mit dem überein, was wir zuvor gesehen haben.

Die Formeln sparen definitiv Zeit, wenn wir nach der Anzahl der Permutationen einer größeren Menge gefragt werden. Wie viele Permutationen gibt es zum Beispiel für zehn Objekte, die jeweils zu drei aufgenommen wurden? Es würde eine Weile dauern, alle Permutationen aufzulisten, aber mit den Formeln sehen wir, dass es geben würde:

P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 Permutationen.

Der Grundgedanke

Was ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen? Die Quintessenz ist, dass in Zählsituationen, die eine Bestellung beinhalten, Permutationen verwendet werden sollten. Wenn die Reihenfolge nicht wichtig ist, sollten Kombinationen verwendet werden.