Die Formel für den erwarteten Wert

Eine natürliche Frage zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: "Was ist ihr Zentrum?" Der erwartete Wert ist eine solche Messung des Zentrums einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da es den Mittelwert misst, sollte es nicht überraschen, dass diese Formel von der des Mittelwerts abgeleitet ist.

Um einen Ausgangspunkt festzulegen, müssen wir die Frage beantworten: "Was ist der erwartete Wert?" Angenommen, wir haben eine Zufallsvariable, die einem Wahrscheinlichkeitsexperiment zugeordnet ist. Nehmen wir an, wir wiederholen dieses Experiment immer wieder. Wenn wir über einen längeren Zeitraum mehrere Wiederholungen desselben Wahrscheinlichkeitsexperiments alle unsere Werte der Zufallsvariablen mitteln würden, würden wir den erwarteten Wert erhalten. 

Im Folgenden erfahren Sie, wie Sie die Formel für den erwarteten Wert verwenden. Wir werden uns sowohl die diskreten als auch die kontinuierlichen Einstellungen ansehen und die Ähnlichkeiten und Unterschiede in den Formeln erkennen.

Die Formel für eine diskrete Zufallsvariable

Wir beginnen mit der Analyse des Einzelfalls. Gegeben eine diskrete Zufallsvariable X, Angenommen, es hat Werte x₁, x₂, x₃,… x_n, und jeweilige Wahrscheinlichkeiten von p₁, p₂, p₃,… p_n. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für diese Zufallsvariable ergibt f(x_ich) = p_ich. 

Der erwartete Wert von X wird durch die Formel gegeben:

E (X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ +… + x_np_n.

Die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und der Summationsnotation ermöglicht es uns, diese Formel wie folgt kompakter zu schreiben, wobei die Summation über den Index genommen wird ich:

E (X) = Σ x_ichf(x_ich).

Diese Version der Formel ist hilfreich, da sie auch funktioniert, wenn wir über einen unendlichen Sample-Raum verfügen. Diese Formel kann auch leicht für den kontinuierlichen Fall angepasst werden.

Ein Beispiel

Dreimal eine Münze werfen und loslassen X sei die Anzahl der Köpfe. Die Zufallsvariable X ist diskret und endlich. Die einzigen möglichen Werte, die wir haben können, sind 0, 1, 2 und 3. Dies hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von 1/8 für X = 0, 3/8 für X = 1, 3/8 für X = 2, 1/8 für X = 3. Verwenden Sie die Erwartungswertformel, um Folgendes zu erhalten:

(1/8) 0 + (3/8) 1 + (3/8) 2 + (1/8) 3 = 12/8 = 1,5

In diesem Beispiel sehen wir, dass wir auf lange Sicht einen Durchschnitt von 1,5 Köpfen aus diesem Experiment bilden werden. Dies ist in unserer Intuition sinnvoll, da die Hälfte von 3 1,5 ist.

Die Formel für eine kontinuierliche Zufallsvariable

Wir wenden uns nun einer stetigen Zufallsvariablen zu, die wir mit bezeichnen werden X. Wir lassen die Wahrscheinlichkeitsdichte von X durch die Funktion gegeben sein f(x). 

Der erwartete Wert von X wird durch die Formel gegeben:

E (X) = ∫ x f(x) dx.