Die LIPET-Strategie für die Integration nach Teilen

Die Integration nach Teilen ist eine von vielen Integrationstechniken, die in der Analysis verwendet werden. Diese Methode der Integration kann als eine Möglichkeit angesehen werden, die Produktregel rückgängig zu machen. Eine der Schwierigkeiten bei der Verwendung dieser Methode besteht darin, zu bestimmen, welche Funktion in unserem Integranden mit welchem ​​Teil abgeglichen werden soll. Das Akronym LIPET kann als Anleitung für die Aufteilung der Teile unseres Integrals verwendet werden.

Integration in Teilstücken

Erinnern Sie sich an die Methode der Integration nach Teilen. Die Formel für diese Methode lautet:

∫ u dv = UV - ∫ v du.

Diese Formel zeigt, welcher Teil des Integranden gleich gesetzt werden soll u, und welcher Teil gleich d gesetzt werden sollv. LIPET ist ein Tool, das uns dabei helfen kann.

Das Akronym LIPET

Das Wort "LIPET" ist ein Akronym, was bedeutet, dass jeder Buchstabe für ein Wort steht. In diesem Fall stehen die Buchstaben für verschiedene Arten von Funktionen. Diese Identifikationen sind:

• L = logarithmische Funktion
• I = Inverse trigonometrische Funktion
• P = Polynomfunktion
• E = Exponentialfunktion
• T = Trigonometrische Funktion

Dies gibt eine systematische Liste dessen, was zu versuchen ist, gleich zu setzen u in der Formel für die Integration nach Teilen. Wenn es eine logarithmische Funktion gibt, versuchen Sie, diese gleich zu setzen u, mit dem Rest des Integranden gleich dv. Wenn es keine logarithmischen oder inversen Triggerfunktionen gibt, versuchen Sie, ein Polynom gleich zu setzen u. Die folgenden Beispiele helfen, die Verwendung dieses Akronyms zu verdeutlichen.

Beispiel 1

Betrachte ∫ x lnx dx. Da es eine logarithmische Funktion gibt, setzen Sie diese Funktion gleich u = ln x. Der Rest des Integranden ist dv = x dx. Daraus folgt, dass du = dx / x und das v = x²/ 2.

Diese Schlussfolgerung konnte durch Versuch und Irrtum gefunden werden. Die andere Möglichkeit wäre gewesen, einzustellen u = x. Also du wäre sehr einfach zu berechnen. Das Problem entsteht, wenn wir d betrachtenv = lnx. Integrieren Sie diese Funktion, um festzustellen v. Leider ist dies ein sehr schwer zu berechnendes Integral.

Beispiel 2

Betrachten Sie das Integral ∫ x cos x dx. Beginnen Sie mit den ersten beiden Buchstaben in LIPET. Es gibt keine logarithmischen Funktionen oder inversen trigonometrischen Funktionen. Der nächste Buchstabe in LIPET, ein P, steht für Polynome. Da die Funktion x ist ein Polynom, gesetzt u = x und dv = cos x.

Dies ist die richtige Wahl für die Integration von Teilen wie du = dx und v = Sünde x. Das Integral wird:

x Sünde x - ∫ Sünde x dx.

Erhalten Sie das Integral durch eine einfache Integration der Sünde x.

Wenn LIPET fehlschlägt

Es gibt einige Fälle, in denen LIPET fehlschlägt und Einstellungen erforderlich sind u gleich einer anderen als der von LIPET vorgeschriebenen Funktion. Aus diesem Grund sollte dieses Akronym nur als Mittel zur Organisation von Gedanken verstanden werden. Das Akronym LIPET gibt uns auch einen Überblick über eine Strategie, die wir bei der Verwendung der Integration nach Teilen ausprobieren sollten. Es ist kein mathematisches Theorem oder Prinzip, mit dem immer ein Problem der Integration nach Teilen gelöst werden kann.