Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen

Eine Möglichkeit, den Mittelwert und die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu berechnen, besteht darin, die erwarteten Werte der Zufallsvariablen zu ermitteln X und X². Wir benutzen die Notation E(X) und E(X²), um diese erwarteten Werte zu bezeichnen. Im Allgemeinen ist es schwierig zu berechnen E(X) und E(X²) direkt. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, verwenden wir fortgeschrittenere mathematische Theorien und Berechnungen. Das Endergebnis erleichtert unsere Berechnungen.

Die Strategie für dieses Problem besteht darin, eine neue Funktion einer neuen Variablen zu definieren t das wird die Momenterzeugungsfunktion genannt. Mit dieser Funktion können wir Momente berechnen, indem wir einfach Ableitungen nehmen.

Annahmen

Bevor wir die Momenterzeugungsfunktion definieren, setzen wir die Bühne mit Notation und Definitionen. Wir lassen X sei eine diskrete Zufallsvariable. Diese Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion f(x). Der Probenraum, mit dem wir arbeiten, wird mit gekennzeichnet S.

Anstatt den erwarteten Wert von zu berechnen X, wir wollen den erwarteten Wert einer Exponentialfunktion berechnen, die sich auf bezieht X. Wenn es eine positive reelle Zahl gibt r so dass E(e^tX) existiert und ist für alle endlich t in der Pause [-r, r], dann können wir die momenterzeugende Funktion von definieren X.

Definition

Die Momenterzeugungsfunktion ist der erwartete Wert der obigen Exponentialfunktion. Mit anderen Worten, wir sagen, dass der Moment erzeugende Funktion von X wird gegeben durch:

M(t) = E(e^tX)

Dieser Erwartungswert ist die Formel Σ e^tx f (x), wobei die Summe aller übernommen wird x im Probenraum S. Dies kann eine endliche oder unendliche Summe sein, abhängig vom verwendeten Probenraum.

Eigenschaften

Die Momentgenerierungsfunktion verfügt über viele Funktionen, die mit anderen Themen in der Wahrscheinlichkeits- und mathematischen Statistik in Verbindung stehen. Einige der wichtigsten Merkmale sind:

• Der Koeffizient von e^tb ist die Wahrscheinlichkeit, dass X = b.
• Momenterzeugungsfunktionen besitzen eine Eindeutigkeitseigenschaft. Stimmen die momentgenerierenden Funktionen für zwei Zufallsvariablen überein, müssen die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen gleich sein. Mit anderen Worten beschreiben die Zufallsvariablen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Momenterzeugungsfunktionen können verwendet werden, um Momente von zu berechnen X.

Momente berechnen

Der letzte Punkt in der obigen Liste erläutert den Namen der Momenterzeugungsfunktionen und deren Nützlichkeit. Einige fortgeschrittene Mathematik sagt, dass unter den Bedingungen, die wir dargelegt haben, die Ableitung einer beliebigen Reihenfolge der Funktion M (t) existiert für wann t = 0. Außerdem können wir in diesem Fall die Reihenfolge der Summierung und Differenzierung in Bezug auf ändern t um die folgenden Formeln zu erhalten (alle Summierungen liegen über den Werten von x im Probenraum S):

• M'(t) = Σ xe^tx f (x)
• M"(t) = Σ x²e^tx f (x)
• M"(t) = Σ x³e^tx f (x)
• M⁽ⁿ⁾'(t) = Σ xⁿe^tx f (x)

Wenn wir uns setzen t = 0 in den obigen Formeln, dann die e^tx Begriff wird e⁰ = 1. So erhalten wir Formeln für die Momente der Zufallsvariablen X:

• M'(0) = E(X)
• M"(0) = E(X²)
• M"(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

Das heißt, wenn die Momenterzeugungsfunktion für eine bestimmte Zufallsvariable existiert, können wir ihren Mittelwert und ihre Varianz in Form von Ableitungen der Momenterzeugungsfunktion finden. Der Mittelwert ist M'(0) und die Varianz ist M"(0) - [M'(0)]².

Zusammenfassung

Zusammenfassend mussten wir uns in eine ziemlich leistungsstarke Mathematik einarbeiten, sodass einige Dinge übergangen wurden. Obwohl wir für das oben Gesagte einen Kalkül verwenden müssen, ist unsere mathematische Arbeit im Endeffekt in der Regel einfacher als die Berechnung der Momente direkt aus der Definition.