Zweidimensionale Kinematik oder Bewegung in einer Ebene

Dieser Artikel beschreibt die grundlegenden Konzepte, die zur Analyse der Bewegung von Objekten in zwei Dimensionen erforderlich sind, ohne Berücksichtigung der Kräfte, die die Beschleunigung verursachen. Ein Beispiel für diese Art von Problem wäre das Werfen eines Balls oder das Schießen einer Kanonenkugel. Es setzt eine Vertrautheit mit eindimensionaler Kinematik voraus, da es dieselben Konzepte in einen zweidimensionalen Vektorraum erweitert.

Koordinaten auswählen

Die Kinematik umfasst Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Dies sind alles Vektorgrößen, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung erfordern. Um ein Problem in der zweidimensionalen Kinematik zu lösen, müssen Sie zunächst das verwendete Koordinatensystem definieren. Im Allgemeinen wird es in Bezug auf eine sein x-Achse und a y-Achse so ausgerichtet, dass die Bewegung in positiver Richtung erfolgt, obwohl dies unter Umständen nicht die beste Methode ist.

In Fällen, in denen die Schwerkraft berücksichtigt wird, ist es üblich, die Richtung der Schwerkraft negativ zu machen-y Richtung. Dies ist eine Konvention, die das Problem im Allgemeinen vereinfacht, obwohl es möglich wäre, die Berechnungen mit einer anderen Ausrichtung durchzuführen, wenn Sie dies wirklich wünschen.

Geschwindigkeitsvektor

Der Positionsvektor r ist ein Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem bestimmten Punkt im System verläuft. Die Positionsänderung (Δr, ausgesprochen "Delta r") ist der Unterschied zwischen dem Startpunkt (r₁) zum Endpunkt (r₂). Wir definieren die Durchschnittsgeschwindigkeit (v_{ein V}) wie:

v_{ein V} = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/ Δt

Die Grenze als Δ nehment nähert sich 0, erreichen wir die momentane Geschwindigkeit v. In der Analysis ist dies die Ableitung von r in Gedenken an t, oder dr/dt.

Mit abnehmender Zeitdifferenz rücken Start- und Endpunkt näher zusammen. Da die Richtung von r ist die gleiche Richtung wie v, es wird klar, dass Der momentane Geschwindigkeitsvektor an jedem Punkt entlang des Pfades ist tangential zum Pfad.

Geschwindigkeitskomponenten

Das nützliche Merkmal von Vektorgrößen ist, dass sie in ihre Teilvektoren zerlegt werden können. Die Ableitung eines Vektors ist die Summe seiner Komponentenableitungen.

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Die Größe des Geschwindigkeitsvektors wird durch den Satz von Pythagoras in folgender Form angegeben:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Die Richtung von v orientiert ist Alpha Grad gegen den Uhrzeigersinn von der x-Komponente und kann aus der folgenden Gleichung berechnet werden:

bräunen Alpha = v_y / v_x

Beschleunigungsvektor

Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum. Ähnlich wie bei der obigen Analyse stellen wir fest, dass es Δ istv/ Δt. Die Grenze hierfür ist Δt nähert sich 0 ergibt die Ableitung von v in Gedenken an t.

In Bezug auf die Komponenten kann der Beschleunigungsvektor wie folgt geschrieben werden:

ein_x = dv_x/dt
ein_y = dv_y/dt

oder

ein_x = d²x/dt²
ein_y = d²y/dt²

Die Größe und der Winkel (bezeichnet als Beta zu unterscheiden von Alpha) des Nettobeschleunigungsvektors werden mit Komponenten ähnlich wie für die Geschwindigkeit berechnet.

Mit Komponenten arbeiten

Bei der zweidimensionalen Kinematik werden häufig die relevanten Vektoren in ihre Teile zerlegt x- und y-Komponenten, dann Analysieren jeder der Komponenten, als ob sie eindimensionale Fälle wären. Sobald diese Analyse abgeschlossen ist, werden die Geschwindigkeits- und / oder Beschleunigungskomponenten wieder miteinander kombiniert, um die resultierenden zweidimensionalen Geschwindigkeits- und / oder Beschleunigungsvektoren zu erhalten.

Dreidimensionale Kinematik

Die obigen Gleichungen können alle für eine Bewegung in drei Dimensionen durch Hinzufügen von a erweitert werden z-Bestandteil der Analyse. Dies ist im Allgemeinen ziemlich intuitiv, obwohl einige Sorgfalt darauf verwendet werden muss, dass dies im richtigen Format erfolgt, insbesondere im Hinblick auf die Berechnung des Orientierungswinkels des Vektors.

Herausgegeben von Anne Marie Helmenstine, Ph.D..