Grundlegendes zu äquivalenten Gleichungen in der Algebra

Gleichungssysteme sind Gleichungssysteme mit den gleichen Lösungen. Äquivalente Gleichungen zu identifizieren und zu lösen, ist nicht nur im Algebraunterricht, sondern auch im Alltag eine wertvolle Fähigkeit. Schauen Sie sich Beispiele für äquivalente Gleichungen an, wie Sie sie für eine oder mehrere Variablen lösen und wie Sie diese Fähigkeit außerhalb eines Klassenzimmers einsetzen können.

Die zentralen Thesen

• Äquivalente Gleichungen sind algebraische Gleichungen mit identischen Lösungen oder Wurzeln.
• Durch Addieren oder Subtrahieren der gleichen Zahl oder des gleichen Ausdrucks zu beiden Seiten einer Gleichung wird eine äquivalente Gleichung erzeugt.
• Das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null ergibt eine äquivalente Gleichung.

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Die einfachsten Beispiele für äquivalente Gleichungen haben keine Variablen. Zum Beispiel sind diese drei Gleichungen einander äquivalent:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Das Erkennen dieser Gleichungen ist äquivalent, aber nicht besonders nützlich. In der Regel werden Sie bei einem äquivalenten Gleichungsproblem aufgefordert, nach einer Variablen zu suchen, um festzustellen, ob diese identisch ist (dasselbe) Wurzel) wie in einer anderen Gleichung.

Zum Beispiel sind die folgenden Gleichungen äquivalent:

• x = 5
• -2x = -10

In beiden Fällen ist x = 5. Woher wissen wir das? Wie löst man das für die Gleichung "-2x = -10"? Der erste Schritt besteht darin, die Regeln für äquivalente Gleichungen zu kennen:

• Durch Addieren oder Subtrahieren der gleichen Zahl oder des gleichen Ausdrucks zu beiden Seiten einer Gleichung wird eine äquivalente Gleichung erzeugt.
• Das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null ergibt eine äquivalente Gleichung.
• Wenn Sie beide Seiten der Gleichung auf dieselbe ungerade Potenz bringen oder dieselbe ungerade Wurzel ziehen, erhalten Sie eine äquivalente Gleichung.
• Wenn beide Seiten einer Gleichung nicht negativ sind, erhalten Sie eine äquivalente Gleichung, wenn Sie beide Seiten einer Gleichung auf dieselbe gerade Potenz bringen oder dieselbe gerade Wurzel ziehen.

Beispiel

Stellen Sie anhand dieser Regeln fest, ob diese beiden Gleichungen gleichwertig sind:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Um dies zu lösen, müssen Sie für jede Gleichung "x" finden. Wenn "x" für beide Gleichungen gleich ist, sind sie gleich. Wenn "x" unterschiedlich ist (d. H. Die Gleichungen haben unterschiedliche Wurzeln), sind die Gleichungen nicht äquivalent. Für die erste Gleichung:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (beide Seiten werden um dieselbe Zahl subtrahiert)
• x = 5

Für die zweite Gleichung:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (beide Seiten werden um dieselbe Zahl subtrahiert)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (beide Seiten der Gleichung durch die gleiche Zahl teilen)
• x = 5

Also ja, die beiden Gleichungen sind äquivalent, weil jeweils x = 5 ist.