Grundlegendes zur Definition des symmetrischen Unterschieds

Die Mengenlehre verwendet eine Reihe verschiedener Operationen, um aus alten Mengen neue Mengen zu konstruieren. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, bestimmte Elemente aus bestimmten Mengen auszuwählen und andere auszuschließen. Das Ergebnis ist normalerweise eine Menge, die sich von den ursprünglichen unterscheidet. Es ist wichtig, gut definierte Möglichkeiten zum Erstellen dieser neuen Mengen zu haben. Beispiele hierfür sind die Vereinigung, Schnittmenge und Differenz zweier Mengen. Eine Mengenoperation, die vielleicht weniger bekannt ist, wird als symmetrische Differenz bezeichnet.

Symmetrische Differenzdefinition

Um die Definition des symmetrischen Unterschieds zu verstehen, müssen wir zuerst das Wort "oder" verstehen. Obwohl klein, hat das Wort "oder" in der englischen Sprache zwei verschiedene Verwendungen. Es kann exklusiv oder inklusive sein (und es wurde nur exklusiv in diesem Satz verwendet). Wenn uns mitgeteilt wird, dass wir zwischen A und B wählen können und der Sinn exklusiv ist, haben wir möglicherweise nur eine der beiden Optionen. Wenn der Sinn inklusiv ist, haben wir vielleicht A, wir haben vielleicht B, oder wir haben sowohl A als auch B.

Typischerweise leitet uns der Kontext, wenn wir auf das Wort stoßen oder nicht einmal darüber nachdenken müssen, wie es verwendet wird. Wenn wir gefragt werden, ob wir Sahne oder Zucker in unserem Kaffee haben möchten, ist es klar, dass wir beide haben können. In der Mathematik wollen wir Mehrdeutigkeiten beseitigen. Das Wort "oder" in der Mathematik hat also einen umfassenden Sinn.

Das Wort "oder" wird daher in der Definition der Union im umfassenden Sinne verwendet. Die Vereinigung der Mengen A und B ist die Menge der Elemente in A oder B (einschließlich der Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind). Es lohnt sich jedoch, eine Mengenoperation zu haben, die die Menge mit Elementen in A oder B erstellt, wobei 'oder' im ausschließlichen Sinne verwendet wird. Das nennen wir den symmetrischen Unterschied. Die symmetrische Differenz der Mengen A und B sind die Elemente in A oder B, jedoch nicht in A und B. Während die Notation für die symmetrische Differenz variiert, schreiben wir dies als A ∆ B

Als Beispiel für den symmetrischen Unterschied betrachten wir die Mengen EIN = 1,2,3,4,5 und B = 2,4,6. Der symmetrische Unterschied zwischen diesen Mengen beträgt 1,3,5,6.

In Bezug auf andere Set-Operationen

Andere Mengenoperationen können verwendet werden, um die symmetrische Differenz zu definieren. Aus der obigen Definition ist es klar, dass wir den symmetrischen Unterschied von A und B als den Unterschied der Vereinigung von A und B und dem Schnittpunkt von A und B ausdrücken können. In Symbolen schreiben wir: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Ein äquivalenter Ausdruck, der verschiedene Mengenoperationen verwendet, hilft, den Unterschied zwischen den symmetrischen Namen zu erklären. Anstatt die obige Formulierung zu verwenden, können wir den symmetrischen Unterschied wie folgt schreiben: (A - B) ∪ (B - A). Hier sehen wir wieder, dass der symmetrische Unterschied die Menge der Elemente in A, aber nicht in B oder in B, aber nicht in A ist. Somit haben wir diese Elemente im Schnittpunkt von A und B ausgeschlossen. Es ist möglich, diese beiden Formeln mathematisch zu beweisen sind äquivalent und beziehen sich auf den gleichen Satz.

Der symmetrische Namensunterschied

Die namenssymmetrische Differenz legt eine Verbindung mit der Differenz zweier Mengen nahe. Dieser Satzunterschied ist in beiden obigen Formeln offensichtlich. In jedem von ihnen wurde eine Differenz von zwei Sätzen berechnet. Was den symmetrischen Unterschied von dem Unterschied unterscheidet, ist seine Symmetrie. Durch die Konstruktion können die Rollen von A und B geändert werden. Dies gilt nicht für den Unterschied zwischen zwei Sätzen.

Um diesen Punkt zu betonen, werden wir mit ein wenig Arbeit die Symmetrie des symmetrischen Unterschieds sehen, da wir sehen A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.