Was sind die Gesetze von De Morgan?

Mathematische Statistik erfordert manchmal die Verwendung der Mengenlehre. De Morgans Gesetze sind zwei Aussagen, die die Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Mengenoperationen beschreiben. Die Gesetze gelten für zwei beliebige Mengen EIN und B:

1. (EIN ∩ B)^C = EIN^C U B^C.
2. (EIN U B)^C = EIN^C ∩ B^C.

Nachdem wir erklärt haben, was jede dieser Aussagen bedeutet, schauen wir uns ein Beispiel für jede dieser Aussagen an.

Stellen Sie theoretische Operationen ein

Um zu verstehen, was De Morgans Gesetze sagen, müssen wir uns an einige Definitionen von Mengenoperationen erinnern. Insbesondere müssen wir die Vereinigung und Überschneidung zweier Mengen und das Komplement einer Menge kennen.

De Morgans Gesetze beziehen sich auf das Zusammenspiel von Vereinigung, Schnittmenge und Ergänzung. Erinnere dich daran:

• Der Schnittpunkt der Mengen EIN und B besteht aus allen Elementen, die beiden gemeinsam sind EIN und B. Die Kreuzung ist mit bezeichnet EIN ∩ B.
• Die Vereinigung der Mengen EIN und B besteht aus allen Elementen, die entweder in EIN oder B, Einschließlich der Elemente in beiden Sätzen. Der Schnittpunkt ist mit A U B bezeichnet.
• Die Ergänzung des Sets EIN besteht aus allen Elementen, die keine Elemente von sind EIN. Dieses Komplement ist mit A bezeichnet^C.

Nachdem wir uns an diese elementaren Operationen erinnert haben, werden wir die Erklärung der Gesetze von De Morgan sehen. Für jedes Setpaar EIN und B wir haben:

1. (EIN ∩ B)^C = EIN^C U B^C
2. (EIN U B)^C = EIN^C ∩ B^C

Diese beiden Aussagen lassen sich anhand von Venn-Diagrammen veranschaulichen. Wie unten gezeigt, können wir dies anhand eines Beispiels demonstrieren. Um zu beweisen, dass diese Aussagen wahr sind, müssen wir sie durch Definitionen von Mengenoperationen beweisen.

Beispiel für De Morgans Gesetze

Betrachten Sie zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen von 0 bis 5. Wir schreiben dies in Intervallnotation [0, 5]. Innerhalb dieses Sets haben wir EIN = [1, 3] und B = [2, 4]. Darüber hinaus haben wir nach Anwendung unserer elementaren Operationen:

• Die Ergänzung EIN^C = [0, 1) U (3, 5]
• Die Ergänzung B^C = [0, 2) U (4, 5]
• Die Union EIN U B = [1, 4]
• Der Schnittpunkt EIN ∩ B = [2, 3]

Wir beginnen mit der Berechnung der Vereinigung EIN^C U B^C.  Wir sehen, dass die Vereinigung von [0, 1) U (3, 5] mit [0, 2) U (4, 5] [0, 2) U (3, 5] ist EIN ∩ B ist [2, 3]. Wir sehen, dass das Komplement dieser Menge [2, 3] auch [0, 2) U (3, 5] ist. Auf diese Weise haben wir gezeigt, dass EIN^C U B^C = (EIN ∩ B)^C.

Nun sehen wir den Schnittpunkt von [0, 1) U (3, 5] mit [0, 2) U (4, 5] ist [0, 1) U (4, 5]. Wir sehen auch, dass das Komplement von [ 1, 4] ist auch [0, 1) U (4, 5]. Auf diese Weise haben wir gezeigt, dass EIN^C ∩ B^C = (EIN U B)^C.

Benennung von De Morgans Gesetzen

Im Laufe der Geschichte der Logik haben Personen wie Aristoteles und William of Ockham Aussagen getroffen, die den Gesetzen von De Morgan entsprechen. 

De Morgans Gesetze sind nach Augustus De Morgan benannt, der zwischen 1806 und 1871 lebte. Obwohl er diese Gesetze nicht entdeckte, war er der erste, der diese Aussagen formell unter Verwendung einer mathematischen Formulierung in der Aussagenlogik einführte.