Was sind das Maximum und das Minimum?

Das Minimum ist der kleinste Wert im Datensatz. Das Maximum ist der größte Wert im Datensatz. Erfahren Sie mehr darüber, wie diese Statistiken möglicherweise nicht so trivial sind.

Hintergrund

Ein Satz quantitativer Daten weist viele Merkmale auf. Eines der Ziele der Statistik ist es, diese Merkmale mit aussagekräftigen Werten zu beschreiben und eine Zusammenfassung der Daten bereitzustellen, ohne jeden Wert des Datensatzes aufzulisten. Einige dieser Statistiken sind recht einfach und scheinen fast trivial zu sein. Das Maximum und das Minimum bieten gute Beispiele für die Art der beschreibenden Statistik, die leicht an den Rand gedrängt werden kann. Obwohl diese beiden Zahlen äußerst einfach zu bestimmen sind, tauchen sie in der Berechnung anderer deskriptiver Statistiken auf. Wie wir gesehen haben, sind die Definitionen dieser beiden Statistiken sehr intuitiv. 

Das Minimum

Wir beginnen mit einer genaueren Betrachtung der Statistiken, die als Minimum bezeichnet werden. Diese Zahl ist der Datenwert, der kleiner oder gleich allen anderen Werten in unserem Datensatz ist. Wenn wir alle Daten in aufsteigender Reihenfolge bestellen würden, wäre das Minimum die erste Zahl in unserer Liste. Obwohl der Mindestwert in unserem Datensatz wiederholt werden kann, ist dies per Definition eine eindeutige Zahl. Es kann keine zwei Minima geben, da einer dieser Werte kleiner als der andere sein muss.

Das Maximum

Jetzt wenden wir uns dem Maximum zu. Diese Zahl ist der Datenwert, der größer oder gleich allen anderen Werten in unserem Datensatz ist. Wenn wir alle unsere Daten in aufsteigender Reihenfolge sortieren würden, wäre das Maximum die letzte aufgeführte Zahl. Das Maximum ist eine eindeutige Zahl für einen bestimmten Datensatz. Diese Anzahl kann wiederholt werden, es gibt jedoch nur ein Maximum für einen Datensatz. Es kann nicht zwei Maxima geben, da einer dieser Werte größer als der andere wäre.

Beispiel

Das Folgende ist ein Beispieldatensatz:

23, 2, 4, 10, 19, 15, 21, 41, 3, 24, 1, 20, 19, 15, 22, 11, 4

Wir ordnen die Werte in aufsteigender Reihenfolge an und stellen fest, dass 1 der kleinsten in der Liste ist. Dies bedeutet, dass 1 das Minimum des Datensatzes ist. Wir sehen auch, dass 41 größer ist als alle anderen Werte in der Liste. Dies bedeutet, dass 41 das Maximum des Datensatzes ist.

Gebrauch des Maximums und des Minimums

Abgesehen davon, dass wir einige grundlegende Informationen zu einem Datensatz erhalten haben, werden das Maximum und das Minimum in den Berechnungen für andere zusammenfassende Statistiken angezeigt. 

Diese beiden Zahlen werden zur Berechnung des Bereichs verwendet, bei dem es sich einfach um die Differenz zwischen Maximum und Minimum handelt. 

Das Maximum und das Minimum treten auch neben dem ersten, zweiten und dritten Quartil in der Wertezusammensetzung auf, die die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung für einen Datensatz umfasst. Das Minimum ist die erste aufgeführte Zahl, da es die niedrigste ist, und das Maximum ist die letzte aufgeführte Zahl, da es die höchste ist. Aufgrund dieser Verbindung mit der Fünf-Zahlen-Zusammenfassung werden sowohl das Maximum als auch das Minimum in einem Box- und Whisker-Diagramm angezeigt.

Einschränkungen von Maximum und Minimum

Das Maximum und das Minimum reagieren sehr empfindlich auf Ausreißer. Dies liegt einfach daran, dass sich das Minimum ändert und es sich um diesen neuen Wert handelt, wenn einem Datensatz ein Wert hinzugefügt wird, der kleiner als das Minimum ist. In ähnlicher Weise ändert sich das Maximum, wenn ein Wert in einem Datensatz enthalten ist, der das Maximum überschreitet.

Angenommen, der Wert 100 wird zu dem oben untersuchten Datensatz hinzugefügt. Dies würde sich auf das Maximum auswirken und sich von 41 auf 100 ändern.

Vielfach das Maximum oder Minimum sind Ausreißer unseres Datensatzes. Um festzustellen, ob es sich tatsächlich um Ausreißer handelt, können wir die Interquartil-Bereichsregel verwenden.