Was ist eine Gleichverteilung?

Es gibt verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Jede dieser Distributionen hat eine bestimmte Anwendung und Verwendung, die für eine bestimmte Einstellung geeignet ist. Diese Verteilungen reichen von der immer bekannten Glockenkurve (auch als Normalverteilung bekannt) bis zu weniger bekannten Verteilungen wie der Gamma-Verteilung. Die meisten Verteilungen beinhalten eine komplizierte Dichtekurve, einige jedoch nicht. Eine der einfachsten Dichtekurven ist für eine gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Merkmale der Gleichverteilung

Die einheitliche Verteilung hat ihren Namen von der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse gleich sind. Im Gegensatz zu einer Normalverteilung mit einem Buckel in der Mitte oder einer Chi-Quadrat-Verteilung hat eine gleichmäßige Verteilung keinen Modus. Stattdessen ist jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich. Im Gegensatz zu einer Chi-Quadrat-Verteilung gibt es keine Abweichung von einer gleichmäßigen Verteilung. Infolgedessen stimmen der Mittelwert und der Median überein.

Da jedes Ergebnis einer gleichmäßigen Verteilung mit derselben relativen Häufigkeit auftritt, ist die resultierende Form der Verteilung die eines Rechtecks.

Gleichverteilung für diskrete Zufallsvariablen

In jeder Situation, in der jedes Ergebnis in einem Probenraum gleich wahrscheinlich ist, wird eine gleichmäßige Verteilung verwendet. Ein Beispiel hierfür ist im Einzelfall das Würfeln eines einzelnen Standardwürfels. Es gibt insgesamt sechs Seiten des Würfels und jede Seite hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass sie mit der Vorderseite nach oben gerollt wird. Das Wahrscheinlichkeitshistogramm für diese Verteilung ist rechteckig mit sechs Balken, die jeweils eine Höhe von 1/6 haben.

Gleichverteilung für stetige Zufallsvariablen

Als Beispiel für eine gleichmäßige Verteilung in einer kontinuierlichen Umgebung wird ein idealisierter Zufallszahlengenerator betrachtet. Dadurch wird wirklich eine Zufallszahl aus einem angegebenen Wertebereich generiert. Wenn also festgelegt ist, dass der Generator eine Zufallszahl zwischen 1 und 4 erzeugen soll, dann 3.25, 3, e, 2.222222, 3.4545456 und Pi sind alle möglichen Zahlen, die gleich wahrscheinlich produziert werden.

Da die von einer Dichtekurve eingeschlossene Gesamtfläche 1 sein muss, was 100 Prozent entspricht, ist es einfach, die Dichtekurve für unseren Zufallszahlengenerator zu bestimmen. Wenn die Nummer aus dem Bereich ist ein zu b, dann entspricht dies einem längenintervall b - ein. Um eine Fläche von einem zu haben, müsste die Höhe 1 / (seinb - ein).

Beispielsweise würde für eine Zufallszahl, die von 1 bis 4 erzeugt wird, die Höhe der Dichtekurve 1/3 betragen.

Wahrscheinlichkeiten mit einer einheitlichen Dichtekurve

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Höhe einer Kurve nicht direkt die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses angibt. Vielmehr werden die Wahrscheinlichkeiten wie bei jeder Dichtekurve durch die Bereiche unter der Kurve bestimmt.

Da eine gleichmäßige Verteilung die Form eines Rechtecks ​​hat, sind die Wahrscheinlichkeiten sehr einfach zu bestimmen. Verwenden Sie einfach eine grundlegende Geometrie, anstatt den Bereich unter einer Kurve mit einem Kalkül zu ermitteln. Denken Sie daran, dass die Fläche eines Rechtecks ​​die Basis multipliziert mit seiner Höhe ist.

Kehren Sie zum vorherigen Beispiel zurück. In diesem Beispiel, X ist eine Zufallszahl, die zwischen den Werten 1 und 4 generiert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass X ist zwischen 1 und 3 ist 2/3, da dies die Fläche unter der Kurve zwischen 1 und 3 darstellt.