Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?

Ein einfaches Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte aus einem Standardkartenstapel ein König ist. Es gibt insgesamt vier Könige aus 52 Karten, die Wahrscheinlichkeit ist also einfach 4/52. Im Zusammenhang mit dieser Berechnung steht die folgende Frage: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen König ziehen, wenn wir bereits eine Karte vom Stapel gezogen haben und es sich um ein Ass handelt?" Hier betrachten wir den Inhalt des Kartenspiels. Es gibt noch vier Könige, aber jetzt sind nur noch 51 Karten im Stapel. Die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, wenn bereits ein Ass gezogen wurde, beträgt 4/51.

Als bedingte Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses definiert, wenn ein anderes Ereignis eingetreten ist. Wenn wir diese Ereignisse nennen EIN und B, dann können wir über die Wahrscheinlichkeit von sprechen EIN gegeben B. Wir könnten auch auf die Wahrscheinlichkeit von verweisen EIN abhängig von B.

Notation

Die Notation für bedingte Wahrscheinlichkeit variiert von Lehrbuch zu Lehrbuch. In allen Notationen bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, auf die wir uns beziehen, von einem anderen Ereignis abhängt. Eine der häufigsten Notationen für die Wahrscheinlichkeit von EIN gegeben B ist P (A | B). Eine andere verwendete Notation ist P_B( EIN ).

Formel

Es gibt eine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit, die dies mit der Wahrscheinlichkeit von verbindet EIN und B:

P (A | B) = P (A ≤ B) / P (B)

Im Wesentlichen besagt diese Formel, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet wird EIN angesichts der Veranstaltung B, Wir ändern unseren Sampleraum so, dass er nur aus dem Set besteht B. Dabei berücksichtigen wir nicht das gesamte Ereignis EIN, aber nur der teil von EIN das ist auch enthalten in B. Die Menge, die wir soeben beschrieben haben, kann in bekannter Weise als Schnittmenge von identifiziert werden EIN und B.

Wir können Algebra verwenden, um die obige Formel auf eine andere Weise auszudrücken:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Beispiel

Wir werden das Beispiel, mit dem wir begonnen haben, im Lichte dieser Informationen überdenken. Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, einen König zu ziehen, wenn bereits ein Ass gezogen wurde. Also die Veranstaltung EIN ist, dass wir einen König zeichnen. Veranstaltung B ist, dass wir ein Ass ziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten und wir ein Ass und dann einen König ziehen, entspricht P (A ∩ B). Der Wert dieser Wahrscheinlichkeit beträgt 12/2652. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B, dass wir ein Ass ziehen, ist 4/52. Daher verwenden wir die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, der gegeben ist, als ein Ass gezogen wurde, (16/2652) / (4/52) = 4/51 ist.

Ein anderes Beispiel

Als weiteres Beispiel betrachten wir das Wahrscheinlichkeitsexperiment, bei dem wir zwei Würfel werfen. Eine Frage, die wir stellen könnten, ist: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine Drei gewürfelt haben, vorausgesetzt, wir haben eine Summe von weniger als sechs gewürfelt?"

Hier die Veranstaltung EIN ist, dass wir eine Drei gewürfelt haben, und das Ereignis B ist, dass wir eine Summe von weniger als sechs gewürfelt haben. Es gibt insgesamt 36 Möglichkeiten, zwei Würfel zu werfen. Aus diesen 36 Möglichkeiten können wir auf zehn Arten eine Summe von weniger als sechs würfeln:

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
3 + 1 = 4
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5

Unabhängige Veranstaltungen

Es gibt einige Fälle, in denen die bedingte Wahrscheinlichkeit von EIN angesichts der Veranstaltung B ist gleich der Wahrscheinlichkeit von EIN. In dieser Situation sagen wir, dass die Ereignisse EIN und B unabhängig voneinander sind. Die obige Formel wird:

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