Was ist der Unterschied zweier Mengen in der Mengenlehre?

Der Unterschied von zwei Sätzen, geschrieben EIN - B ist die Menge aller Elemente von EIN das sind keine elemente von B. Die Differenzoperation ist zusammen mit Vereinigung und Schnittmenge eine wichtige und grundlegende Operation der Mengenlehre.

Beschreibung des Unterschieds

Die Subtraktion einer Zahl von einer anderen kann auf viele verschiedene Arten gedacht werden. Ein Modell, das zum Verständnis dieses Konzepts beiträgt, wird als Subtraktionsmodell zum Mitnehmen bezeichnet. In diesem Beispiel wird das Problem 5 - 2 = 3 demonstriert, indem mit fünf Objekten begonnen wird, zwei davon entfernt werden und drei verbleibende Objekte gezählt werden. Auf ähnliche Weise wie wir den Unterschied zwischen zwei Zahlen finden, können wir den Unterschied zwischen zwei Mengen finden.

Ein Beispiel

Wir werden uns ein Beispiel für den Mengenunterschied ansehen. Um zu sehen, wie der Unterschied zweier Mengen eine neue Menge bildet, betrachten wir die Mengen EIN = 1, 2, 3, 4, 5 und B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Um den Unterschied zu finden EIN - B Von diesen beiden Mengen schreiben wir zunächst alle Elemente von EIN, und dann jedes Element von wegnehmen EIN das ist auch ein element von B. Schon seit EIN teilt die Elemente 3, 4 und 5 mit B, Dies gibt uns den eingestellten Unterschied EIN - B = 1, 2.

Ordnung ist wichtig

So wie die Differenzen 4 - 7 und 7 - 4 unterschiedliche Antworten liefern, müssen wir uns um die Reihenfolge kümmern, in der wir die eingestellte Differenz berechnen. Um einen Fachbegriff aus der Mathematik zu verwenden, würden wir sagen, dass die Mengenoperation der Differenz nicht kommutativ ist. Dies bedeutet, dass wir im Allgemeinen die Reihenfolge der Differenz zweier Mengen nicht ändern können und dasselbe Ergebnis erwarten. Wir können das für alle Mengen genauer angeben EIN und B, EIN - B ist ungleich zu B - EIN.

Um dies zu sehen, beziehen Sie sich auf das obige Beispiel. Wir haben das für die Sets berechnet EIN = 1, 2, 3, 4, 5 und B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, die Differenz EIN - B = 1, 2. Um dies zu vergleichen B - EIN, Wir beginnen mit den Elementen von B, Das sind 3, 4, 5, 6, 7, 8, und dann entfernen Sie die 3, die 4 und die 5, weil diese gemeinsam sind mit EIN. Das Ergebnis ist B - EIN = 6, 7, 8. Dieses Beispiel zeigt uns das deutlich A - B ist ungleich zu B - A.

Die Ergänzung

Eine Art von Unterschied ist wichtig genug, um einen eigenen Namen und ein eigenes Symbol zu rechtfertigen. Dies wird als Komplement bezeichnet und für die Mengenunterschiede verwendet, wenn die erste Menge die universelle Menge ist. Die Ergänzung von EIN wird durch den Ausdruck gegeben U - EIN. Dies bezieht sich auf die Menge aller Elemente in der universellen Menge, die keine Elemente von sind EIN. Da es sich versteht, dass die Menge der Elemente, aus denen wir wählen können, aus der universellen Menge stammt, können wir einfach sagen, dass die Ergänzung von EIN ist die Menge bestehend aus Elementen, die keine Elemente von sind EIN.

Die Ergänzung einer Menge ist relativ zu der universellen Menge, mit der wir arbeiten. Mit EIN = 1, 2, 3 und U = 1, 2, 3, 4, 5, das Komplement von EIN ist 4, 5. Wenn unser universelles Set anders ist, sagen wir U = -3, -2, 0, 1, 2, 3, dann das Komplement von EIN -3, -2, -1, 0. Achten Sie immer darauf, welches Universal-Set verwendet wird.

Notation zur Ergänzung

Das Wort "Komplement" beginnt mit dem Buchstaben C und wird daher in der Notation verwendet. Die Ergänzung des Sets EIN geschrieben als EIN^C. So können wir die Definition des Komplements in Symbolen wie folgt ausdrücken: EIN^C = U - EIN.

Eine andere Möglichkeit, die üblicherweise zur Bezeichnung des Komplements einer Menge verwendet wird, ist ein Apostroph, das wie folgt geschrieben wird EIN'.

Andere Identitäten, die den Unterschied und die Ergänzungen betreffen

Es gibt viele festgelegte Identitäten, die die Verwendung von Differenz- und Komplementoperationen beinhalten. Einige Identitäten kombinieren andere Mengenoperationen wie Schnittmenge und Vereinigung. Einige der wichtigsten sind nachstehend aufgeführt. Für alle Sets EIN, und B und D wir haben:

• EIN - EIN = ∅
• EIN - ∅ = EIN
• ∅ - EIN = ∅
• EIN - U = ∅
• (EIN^C)^C = EIN
• DeMorgans Gesetz I: (EIN ∩ B)^C = EIN^C ∪ B^C
• DeMorgans Gesetz II: (EIN ∪ B)^C = EIN^C ∩ B^C