Was ist die Gamma-Funktion?

Die Gammafunktion ist eine etwas komplizierte Funktion. Diese Funktion wird in der mathematischen Statistik verwendet. Man kann es sich als einen Weg vorstellen, die Fakultät zu verallgemeinern. 

Das Faktorielle als Funktion

Wir lernen ziemlich früh in unserer Mathematikkarriere, dass die Fakultät für nicht negative ganze Zahlen definiert ist n, ist ein Weg, um wiederholte Multiplikation zu beschreiben. Es wird durch die Verwendung eines Ausrufezeichens gekennzeichnet. Beispielsweise:

3! = 3 x 2 x 1 = 6 und 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Die einzige Ausnahme zu dieser Definition ist die faktorielle Null, wobei 0! = 1. Wenn wir diese Werte für die Fakultät betrachten, können wir paaren n mit n!. Dies würde uns die Punkte (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) usw. geben auf.

Wenn wir diese Punkte aufzeichnen, können wir einige Fragen stellen:

• Gibt es eine Möglichkeit, die Punkte zu verbinden und das Diagramm für weitere Werte auszufüllen??
• Gibt es eine Funktion, die mit der Fakultät für nichtnegative ganze Zahlen übereinstimmt, jedoch für eine größere Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist?.

Die Antwort auf diese Fragen lautet "Die Gammafunktion".

Definition der Gammafunktion

Die Definition der Gammafunktion ist sehr komplex. Es handelt sich um eine kompliziert aussehende Formel, die sehr seltsam aussieht. Die Gammafunktion verwendet in ihrer Definition einige Berechnungen sowie die Zahl e Im Gegensatz zu bekannteren Funktionen wie Polynomen oder trigonometrischen Funktionen wird die Gammafunktion als falsches Integral einer anderen Funktion definiert.

Die Gammafunktion wird durch einen Großbuchstaben Gamma aus dem griechischen Alphabet bezeichnet. Dies sieht folgendermaßen aus: Γ ( z )

Funktionen der Gamma-Funktion

Die Definition der Gammafunktion kann verwendet werden, um eine Reihe von Identitäten aufzuzeigen. Eines der wichtigsten davon ist, dass Γ ( z + 1) = z Γ ( z ). Wir können dies und die Tatsache, dass Γ (1) = 1 aus der direkten Berechnung:

Γ ( n ) = (n - 1) Γ ( n - 1) = (n - 1) (n - 2) Γ ( n - 2) = (n - 1)!

Die obige Formel stellt die Verbindung zwischen der Fakultät und der Gammafunktion her. Es gibt uns auch einen weiteren Grund, warum es sinnvoll ist, den Wert der Fakultät Null gleich 1 zu definieren.

Wir brauchen aber nicht nur ganze Zahlen in die Gammafunktion einzugeben. Jede komplexe Zahl, die keine negative ganze Zahl ist, befindet sich im Bereich der Gammafunktion. Dies bedeutet, dass wir die Fakultät auf andere Zahlen als nichtnegative Ganzzahlen erweitern können. Eines der bekanntesten (und überraschendsten) Ergebnisse dieser Werte ist Γ (1/2) = √π.

Ein weiteres Ergebnis, das dem letzten ähnlich ist, ist Γ (1/2) = -2π. In der Tat erzeugt die Gammafunktion immer eine Ausgabe eines Vielfachen der Quadratwurzel von pi, wenn ein ungerades Vielfaches von 1/2 in die Funktion eingegeben wird.

Verwendung der Gamma-Funktion

Die Gammafunktion taucht in vielen scheinbar unabhängigen Bereichen der Mathematik auf. Insbesondere die Verallgemeinerung der Fakultät, die durch die Gammafunktion bereitgestellt wird, ist bei einigen Kombinatorik- und Wahrscheinlichkeitsproblemen hilfreich. Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden direkt über die Gammafunktion definiert. Beispielsweise wird die Gammaverteilung als Gammafunktion angegeben. Diese Verteilung kann verwendet werden, um das Zeitintervall zwischen Erdbeben zu modellieren. Die t-Verteilung des Schülers, die für Daten mit unbekannter Populationsstandardabweichung verwendet werden kann, und die Chi-Quadrat-Verteilung werden auch in Bezug auf die Gammafunktion definiert.