Was ist der Schnittpunkt zweier Mengen?

Wenn es um Mengenlehre geht, gibt es eine Reihe von Operationen, um aus alten Mengen neue Mengen zu machen. Eine der häufigsten Mengenoperationen wird als Schnittmenge bezeichnet. Einfach ausgedrückt, der Schnittpunkt zweier Mengen EIN und B ist die Menge aller Elemente, die beide EIN und B gemeinsam haben.

Wir werden uns Details bezüglich der Schnittmenge in der Mengenlehre ansehen. Wie wir sehen werden, ist das Schlüsselwort hier das Wort "und".

Ein Beispiel

Als Beispiel dafür, wie der Schnittpunkt zweier Mengen eine neue Menge bildet, betrachten wir die Mengen EIN = 1, 2, 3, 4, 5 und B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Um den Schnittpunkt dieser beiden Mengen zu finden, müssen wir herausfinden, welche Elemente sie gemeinsam haben. Die Zahlen 3, 4, 5 sind Elemente beider Mengen, daher die Schnittmengen von EIN und B ist 3. 4. 5].

Notation für Schnittmenge

Neben dem Verständnis der Konzepte für Mengenoperationen ist es wichtig, Symbole zu lesen, die zur Bezeichnung dieser Operationen verwendet werden. Das Symbol für die Kreuzung wird manchmal durch das Wort „und“ zwischen zwei Mengen ersetzt. Dieses Wort deutet auf die kompaktere Schreibweise für eine Kreuzung hin, die normalerweise verwendet wird.

Das Symbol für den Schnittpunkt der beiden Mengen EIN und B ist gegeben durch EIN ∩ B. Eine Möglichkeit, sich daran zu erinnern, dass dieses Symbol ∩ sich auf eine Kreuzung bezieht, besteht darin, die Ähnlichkeit mit einem Großbuchstaben A zu bemerken, der für das Wort "und" steht.

Sehen Sie sich das obige Beispiel an, um diese Notation in Aktion zu sehen. Hier hatten wir die Sets EIN = 1, 2, 3, 4, 5 und B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Also schreiben wir die Mengengleichung EIN ∩ B = 3, 4, 5.

Schnittpunkt mit dem leeren Set

Eine grundlegende Identität, die die Kreuzung beinhaltet, zeigt uns, was passiert, wenn wir die Kreuzung einer Menge mit der leeren Menge nehmen, die mit # 8709 bezeichnet ist. Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente. Wenn in mindestens einer der Mengen, deren Schnittmenge ermittelt werden soll, keine Elemente vorhanden sind, haben die beiden Mengen keine gemeinsamen Elemente. Mit anderen Worten, der Schnittpunkt einer Menge mit der leeren Menge ergibt die leere Menge.

Diese Identität wird durch die Verwendung unserer Notation noch kompakter. Wir haben die Identität: EIN ∩ ∅ = ∅.

Kreuzung mit dem Universal-Set

Was passiert für das andere Extrem, wenn wir den Schnittpunkt einer Menge mit der universellen Menge untersuchen? Ähnlich wie das Wort Universum in der Astronomie verwendet wird, um alles zu bedeuten, enthält die universelle Menge jedes Element. Daraus folgt, dass jedes Element unserer Menge auch ein Element der universellen Menge ist. Der Schnittpunkt einer Menge mit der universellen Menge ist also die Menge, mit der wir begonnen haben.

Wieder kommt unsere Notation zur Rettung, um diese Identität prägnanter auszudrücken. Für jeden Satz EIN und das universelle Set U, EIN ∩ U = EIN.

Andere Identitäten, die die Überschneidung betreffen

Es gibt viel mehr Mengengleichungen, die die Verwendung der Schnittoperation beinhalten. Natürlich ist es immer gut, die Sprache der Mengenlehre anzuwenden. Für alle Sets EIN, und B und D wir haben:

• Reflexive Eigenschaft: EIN ∩ EIN =EIN
• Kommutativgesetz: EIN ∩ B = B ∩ EIN
• Assoziatives Eigentum: (EIN ∩ B) ∩ D =EIN ∩ (B ∩ D)
• Verteilungseigenschaft: (EIN ∪ B) ∩ D = (EIN ∩ D) ∪ (B ∩ D)
• DeMorgans Gesetz I: (EIN ∩ B)^C = EIN^C ∪ B^C
• DeMorgans Gesetz II: (EIN ∪ B)^C = EIN^C ∩ B^C