Was ist die Leistung eingestellt?

Eine Frage in der Mengenlehre ist, ob eine Menge eine Teilmenge einer anderen Menge ist. Eine Teilmenge von EIN ist eine Menge, die unter Verwendung einiger Elemente aus der Menge gebildet wird EIN. Damit B eine Untergruppe von sein EIN, jedes Element von B muss auch ein Element von sein EIN.

Jeder Satz hat mehrere Teilmengen. Manchmal ist es wünschenswert, alle möglichen Teilmengen zu kennen. Eine als Kraftpaket bekannte Konstruktion hilft dabei. Der Kraftsatz des Satzes EIN ist eine Menge mit Elementen, die auch Mengen sind. Diese Potenzmenge wird durch Einbeziehen aller Teilmengen einer gegebenen Menge gebildet EIN.

Beispiel 1

Wir werden zwei Beispiele von Stromsätzen betrachten. Zum einen, wenn wir mit dem Set beginnen EIN = 1, 2, 3, wie hoch ist dann die eingestellte Leistung? Wir fahren mit der Auflistung aller Teilmengen von fort EIN.

Die leere Menge ist eine Teilmenge von EIN. In der Tat ist die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge. Dies ist die einzige Teilmenge ohne Elemente von EIN.
Die Mengen 1, 2, 3 sind die einzigen Teilmengen von EIN mit einem Element.
Die Mengen 1, 2, 1, 3, 2, 3 sind die einzigen Teilmengen von EIN mit zwei Elementen.
Jede Menge ist eine Teilmenge von sich. Somit EIN = 1, 2, 3 ist eine Teilmenge von EIN. Dies ist die einzige Teilmenge mit drei Elementen.

EIN EIN EIN

Beispiel 2

Für das zweite Beispiel betrachten wir die Potenzmenge von B = 1, 2, 3, 4. Vieles von dem, was wir oben gesagt haben, ist ähnlich, wenn nicht jetzt identisch:

Das leere Set und B sind beide Teilmengen.
Da gibt es vier Elemente von B, Es gibt vier Teilmengen mit einem Element: 1, 2, 3, 4.
Da jede Teilmenge aus drei Elementen gebildet werden kann, eliminiert man ein Element aus B und es gibt vier Elemente, es gibt vier solche Untergruppen: 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4.
Es bleibt die Ermittlung der Teilmengen mit zwei Elementen. Wir bilden eine Teilmenge von zwei Elementen, die aus einer Menge von 4 ausgewählt werden. Dies ist eine Kombination, und es gibt sie C (4, 2) = 6 dieser Kombinationen. Die Teilmengen sind: 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4.

B B

Notation

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie die Leistung eines Satzes eingestellt werden kann EIN bezeichnet wird. Eine Möglichkeit, dies zu kennzeichnen, ist die Verwendung des Symbols P( EIN), wo manchmal dieser Brief P wird mit einem stilisierten Skript geschrieben. Eine andere Notation für den Kraftsatz von EIN ist 2^EIN. Diese Notation wird verwendet, um das Stromaggregat mit der Anzahl der Elemente im Stromaggregat zu verbinden.

Größe des Power Sets

Wir werden diese Notation weiter untersuchen. Wenn EIN ist eine endliche Menge mit n Elemente, dann seine Macht eingestellt P (A ) wird 2 habenⁿ Elemente. Wenn wir mit einer unendlichen Menge arbeiten, ist es nicht hilfreich, an 2 zu denkenⁿ Elemente. Ein Satz von Cantor besagt jedoch, dass die Kardinalität einer Menge und ihrer Potenz nicht gleich sein kann.

In der Mathematik war es eine offene Frage, ob die Kardinalität der Potenzmenge einer zählbar unendlichen Menge mit der Kardinalität der Realzahlen übereinstimmt. Die Lösung dieser Frage ist recht technisch, sagt aber, dass wir uns entscheiden können, ob wir Kardinalitäten identifizieren wollen oder nicht. Beides führt zu einer konsistenten mathematischen Theorie.

Potenzsätze in der Wahrscheinlichkeit

Das Thema Wahrscheinlichkeit basiert auf Mengenlehre. Anstatt sich auf universelle Mengen und Teilmengen zu beziehen, sprechen wir stattdessen über Beispielräume und Ereignisse. Manchmal möchten wir bei der Arbeit mit einem Probenraum die Ereignisse dieses Probenraums bestimmen. Der Potenzsatz des verfügbaren Probenraums gibt uns alle möglichen Ereignisse.

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