Wann verwenden Sie eine Binomialverteilung?

Binomialwahrscheinlichkeitsverteilungen sind in einer Reihe von Einstellungen nützlich. Es ist wichtig zu wissen, wann diese Art der Verteilung verwendet werden sollte. Wir werden alle Bedingungen untersuchen, die zur Verwendung einer Binomialverteilung erforderlich sind.

Die grundlegenden Funktionen, die wir haben müssen, sind für insgesamt n Unabhängige Studien werden durchgeführt und wir wollen die Wahrscheinlichkeit von herausfinden r Erfolge, bei denen jeder Erfolg eine Wahrscheinlichkeit hat p des Auftretens. In dieser kurzen Beschreibung werden mehrere Dinge angegeben und impliziert. Die Definition läuft auf diese vier Bedingungen hinaus:

1. Feste Anzahl von Versuchen
2. Unabhängige Studien
3. Zwei verschiedene Klassifikationen
4. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt bei allen Versuchen gleich

All dies muss im untersuchten Prozess vorhanden sein, um die Binomialwahrscheinlichkeitsformel oder -tabellen verwenden zu können. Eine kurze Beschreibung von jedem von diesen folgt.

Fixe Versuche

Der untersuchte Prozess muss eine klar definierte Anzahl von Versuchen aufweisen, die sich nicht unterscheiden. Wir können diese Zahl in der Mitte unserer Analyse nicht ändern. Jeder Versuch muss auf die gleiche Weise wie alle anderen durchgeführt werden, auch wenn die Ergebnisse variieren können. Die Anzahl der Versuche ist mit einem gekennzeichnet n in der Formel.

Ein Beispiel für die Durchführung festgelegter Versuche für einen Prozess wäre die zehnmalige Untersuchung der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Hier ist jeder Würfelwurf eine Prüfung. Die Gesamtanzahl der Versuche wird von Anfang an festgelegt.

Unabhängige Studien

Jeder Versuch muss unabhängig sein. Jeder Versuch sollte keinerlei Auswirkungen auf die anderen haben. Die klassischen Beispiele, zwei Würfel zu werfen oder mehrere Münzen zu werfen, veranschaulichen unabhängige Ereignisse. Da die Ereignisse unabhängig sind, können wir die Multiplikationsregel verwenden, um die Wahrscheinlichkeiten miteinander zu multiplizieren.

In der Praxis kann es vor allem aufgrund einiger Stichprobenverfahren zu Zeiten kommen, in denen die Versuche technisch nicht unabhängig sind. In diesen Situationen kann manchmal eine Binomialverteilung verwendet werden, solange die Population im Verhältnis zur Stichprobe größer ist.

Zwei Klassifikationen

Jede der Studien ist in zwei Kategorien unterteilt: Erfolge und Misserfolge. Obwohl wir Erfolg in der Regel positiv sehen, sollten wir nicht zu viel in diesen Begriff hineinlesen. Wir weisen darauf hin, dass die Studie ein Erfolg ist, da sie mit dem übereinstimmt, was wir als Erfolg bezeichnen.

Nehmen wir als Extremfall zur Veranschaulichung an, wir testen die Ausfallrate von Glühbirnen. Wenn wir wissen möchten, wie viele in einer Charge nicht funktionieren, können wir den Erfolg unserer Studie als definieren, wenn wir eine Glühbirne haben, die nicht funktioniert. Ein Fehlschlag des Versuchs ist, wenn die Glühbirne funktioniert. Das klingt vielleicht etwas verkehrt, aber es kann einige gute Gründe dafür geben, die Erfolge und Misserfolge unseres Prozesses so zu definieren, wie wir es getan haben. Für Markierungszwecke kann es vorzuziehen sein, zu betonen, dass eine Glühbirne mit einer geringen Wahrscheinlichkeit nicht funktioniert, anstatt mit einer hohen Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne funktioniert.

Gleiche Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeiten für erfolgreiche Studien müssen während des gesamten Prozesses, den wir untersuchen, gleich bleiben. Das Umwerfen von Münzen ist ein Beispiel dafür. Unabhängig davon, wie viele Münzen geworfen werden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kopf geworfen wird, jedes Mal 1/2.

Dies ist ein weiterer Ort, an dem Theorie und Praxis leicht voneinander abweichen. Probenahme ohne Ersatz kann dazu führen, dass die Wahrscheinlichkeiten aus jedem Versuch geringfügig voneinander abweichen. Angenommen, es gibt 20 Beagles von 1000 Hunden. Die Wahrscheinlichkeit, einen Beagle zufällig auszuwählen, beträgt 20/1000 = 0,020. Wählen Sie nun noch einmal aus den verbleibenden Hunden. Es gibt 19 Beagles von 999 Hunden. Die Wahrscheinlichkeit, einen anderen Beagle auszuwählen, beträgt 19/999 = 0,019. Der Wert 0,2 ist eine angemessene Schätzung für beide Versuche. Solange die Population groß genug ist, ist diese Art der Schätzung kein Problem bei der Verwendung der Binomialverteilung.