Warum ist Zero Factorial gleich Eins?

Ein Nullfaktor ist ein mathematischer Ausdruck für die Anzahl der Möglichkeiten, einen Datensatz ohne Werte anzuordnen, der gleich eins ist. Im Allgemeinen ist die Fakultät einer Zahl ein kurzer Weg, um einen Multiplikationsausdruck zu schreiben, bei dem die Zahl mit jeder Zahl multipliziert wird, die kleiner als sie, aber größer als Null ist. 4! = 24 ist zum Beispiel dasselbe wie 4 x 3 x 2 x 1 = 24, wobei man ein Ausrufezeichen rechts von der Fakultätszahl (vier) verwendet, um dieselbe Gleichung auszudrücken.

Aus diesen Beispielen geht ziemlich klar hervor, wie die Fakultät einer ganzen Zahl größer oder gleich eins berechnet wird, aber warum ist der Wert der Fakultät eins gleich null, trotz der mathematischen Regel, dass alles, was mit Null multipliziert wird, gleich Null ist? 

Die Definition der Fakultät besagt, dass 0! = 1. Dies verwirrt Menschen normalerweise, wenn sie diese Gleichung zum ersten Mal sehen, aber wir werden in den folgenden Beispielen sehen, warum dies sinnvoll ist, wenn Sie Definition, Permutationen und Formeln für die Nullfaktorielle betrachten.

Die Definition eines Zero Factorial

Der erste Grund, warum null Fakultät gleich eins ist, liegt darin, dass dies so ist, wie es die Definition vorschreibt. Dies ist eine mathematisch korrekte, wenn nicht eine etwas unbefriedigende Erklärung. Dennoch muss man bedenken, dass die Definition einer Fakultät das Produkt aller ganzen Zahlen ist, deren Wert der ursprünglichen Zahl entspricht oder darunter liegt. Mit anderen Worten, eine Fakultät ist die Anzahl möglicher Kombinationen mit Zahlen, die kleiner oder gleich dieser Zahl sind.

Da Null keine niedrigeren Zahlen hat, aber immer noch an und für sich eine Zahl ist, gibt es immer noch eine mögliche Kombination, wie dieser Datensatz angeordnet werden kann: Es kann nicht. Dies zählt immer noch als eine Möglichkeit, es anzuordnen. Per Definition ist eine Fakultät von Null gleich Eins, genauso wie 1! ist gleich eins, weil es nur eine einzige mögliche Anordnung dieses Datensatzes gibt.

Für ein besseres Verständnis, wie dies mathematisch sinnvoll ist, ist es wichtig zu beachten, dass Fakultäten wie diese verwendet werden, um mögliche Reihenfolgen von Informationen in einer Sequenz, auch Permutationen genannt, zu bestimmen Bei einer leeren oder Null-Menge gibt es immer noch eine Möglichkeit, die Menge anzuordnen. 

Permutationen und Fakultäten

Eine Permutation ist eine bestimmte, eindeutige Reihenfolge von Elementen in einer Menge. Zum Beispiel gibt es sechs Permutationen der Menge 1, 2, 3, die drei Elemente enthält, da wir diese Elemente auf die folgenden sechs Arten schreiben können:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Wir könnten diese Tatsache auch durch die Gleichung erklären 3! = 6, Dies ist eine faktorielle Darstellung des gesamten Satzes von Permutationen. In ähnlicher Weise gibt es 4! = 24 Permutationen einer Menge mit vier Elementen und 5! = 120 Permutationen einer Menge mit fünf Elementen. Eine andere Möglichkeit, über die Fakultät nachzudenken, besteht darin, zu lassen n sei eine natürliche Zahl und sage das n! ist die Anzahl der Permutationen für eine Menge mit n Elemente.

Schauen wir uns bei dieser Betrachtung der Fakultät noch ein paar Beispiele an. Eine Menge mit zwei Elementen hat zwei Permutationen: a, b kann als a, b oder als b, a angeordnet werden. Das entspricht 2! = 2. Eine Menge mit einem Element hat eine einzelne Permutation, da das Element 1 in der Menge 1 nur auf eine Weise bestellt werden kann.

Dies bringt uns zu Null Fakultät. Die Menge mit Nullelementen wird leere Menge genannt. Um den Wert der Fakultät Null zu ermitteln, fragen wir: „Wie viele Arten können wir eine Menge ohne Elemente bestellen?“ Hier müssen wir unser Denken ein wenig ausdehnen. Auch wenn es nichts zu bestellen gibt, gibt es eine Möglichkeit, dies zu tun. Also haben wir diese 0! = 1.

Formeln und andere Validierungen

Ein weiterer Grund für die Definition von 0! = 1 hat mit den Formeln zu tun, die wir für Permutationen und Kombinationen verwenden. Dies erklärt nicht, warum Nullfaktor eins ist, aber es zeigt, warum die Einstellung 0 ist! = 1 ist eine gute Idee.

Eine Kombination ist eine Gruppierung von Elementen einer Menge ohne Rücksicht auf die Reihenfolge. Betrachten Sie zum Beispiel die Menge 1, 2, 3, in der es eine Kombination gibt, die aus allen drei Elementen besteht. Unabhängig von der Reihenfolge, in der wir diese Elemente anordnen, erhalten wir dieselbe Kombination.

Wir verwenden die Formel für Kombinationen, wobei die Kombination von drei Elementen zu jeweils drei genommen wird und sehen, dass 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!) Und wenn wir 0! Als unbekannte Größe und algebraisch zu lösen, sehen wir, dass 3! 0! = 3! und so 0! = 1.

Es gibt andere Gründe, warum die Definition von 0! = 1 ist richtig, aber die obigen Gründe sind die einfachsten. Die Gesamtidee in der Mathematik ist, wenn neue Ideen und Definitionen konstruiert werden, sie mit anderen Mathematiken konsistent bleiben, und genau dies sehen wir in der Definition von Nullfaktor gleich Eins.