Ajax ist bekannt für seine Größe und Stärke, so dass das Markenzeichen eines beliebten Reinigungsprodukts "Ajax: Stärker als Schmutz" war. Es gab tatsächlich zwei griechische Helden im Trojanischen Krieg namens Ajax. Das andere, Physisch viel kleiner Ajax ist der Oilean Ajax oder Ajax der Lesser.
Ajax der Größere ist mit einem großen Schild dargestellt, der mit einer Mauer verglichen wird.
Ajax der Größere war der Sohn des Königs der Insel Salamis und des Halbbruders von Teucer, einem Bogenschützen auf griechischer Seite im Trojanischen Krieg. Teucers Mutter war Hesione, die Schwester des trojanischen Königs Priamos. Die Mutter von Ajax war Periboea, Tochter von Alcathus, Sohn von Pelops, nach Apollodorus III.12.7. Teucer und Ajax hatten den gleichen Vater, Argonaut und den kalydonischen Eberjäger Telamon.
Der Name Ajax (Gk. Aias) soll auf dem Erscheinen eines Adlers (Gk. Aietos) beruhen, den Zeus als Antwort auf Telamons Gebet für einen Sohn sandte.
Ajax der Große war einer der Fürsprecher Helens, weshalb er durch den Eid von Tyndareus gezwungen war, sich den griechischen Streitkräften im Trojanischen Krieg anzuschließen. Ajax steuerte 12 Schiffe von Salamis zu den achaischen Kriegsanstrengungen bei.
Ajax und Hector kämpften im Einzelkampf. Ihr Kampf wurde von den Herolden beendet. Die beiden Helden tauschten Geschenke aus, wobei Hector einen Gürtel von Ajax erhielt und ihm ein Schwert schenkte. Mit dem Gürtel von Ajax schleppte Achilles Hector.
Als Achilles getötet wurde, sollte seine Rüstung an den nächstgrößeren griechischen Helden verliehen werden. Ajax dachte, es sollte zu ihm gehen. Ajax wurde verrückt und versuchte, seine Kameraden zu töten, als die Rüstung stattdessen an Odysseus verliehen wurde. Athena intervenierte, indem sie Ajax vorstellte, dass Vieh seine früheren Verbündeten seien. Als er feststellte, dass er die Herde geschlachtet hatte, beging er Selbstmord als sein einziges ehrenvolles Ende. Ajax benutzte das Schwert, das Hector ihm gegeben hatte, um sich umzubringen.
Die Geschichte des Wahnsinns und der beschämten Beerdigung von Ajax erscheint in der Kleine Ilias. Siehe: "Ajax 'Beerdigung im frühen griechischen Epos" von Philip Holt; Das amerikanische Journal of Philology, Vol. 113, Nr. 3 (Herbst 1992), S. 319-331.
Selbst in seinem Leben nach dem Tod in der Unterwelt war Ajax immer noch wütend und wollte nicht mit Odysseus sprechen.