Die Geschichte der Algebra

Verschiedene Ableitungen des Wortes "Algebra" arabischen Ursprungs wurden von verschiedenen Schriftstellern angegeben. Die erste Erwähnung des Wortes findet sich im Titel eines Werkes von Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), der um den Beginn des 9. Jahrhunderts aufblühte. Der vollständige Titel lautet ilm al-jebr wa'l-muqabala, welches die Ideen der Rückgabe und des Vergleichs oder der Opposition und des Vergleichs oder der Auflösung und der Gleichung enthält, jebr abgeleitet von dem Verb Jabara, wiedervereinigen, und Muqabala, von gabala, gleich machen. (Der Ursprung Jabara wird auch im Wort getroffen Algebrista, Dies bedeutet "Knochensetzer" und wird in Spanien immer noch verwendet.) Dieselbe Ableitung gibt Lucas Paciolus (Luca Pacioli), der die Phrase in transliterierter Form wiedergibt Alghebra und Almucabala, und schreibt die Erfindung der Kunst den Arabern zu.

Andere Schriftsteller haben das Wort vom arabischen Teilchen abgeleitet al (der bestimmte Artikel), und gerber, bedeutet "Mann". Da Geber jedoch der Name eines berühmten maurischen Philosophen war, der im 11. oder 12. Jahrhundert aufblühte, wurde angenommen, dass er der Begründer der Algebra war, die seitdem seinen Namen verewigt hat. Die Beweise von Peter Ramus (1515-1572) in diesem Punkt sind interessant, aber er gibt keine Autorität für seine singulären Aussagen. Im Vorwort zu seinem Arithmeticae libri duo et totidem Algebrae (1560) sagt er: "Der Name Algebra ist syrisch und bedeutet die Kunst oder Lehre eines hervorragenden Mannes. Für Geber ist auf syrisch ein Name, der auf Männer angewendet wird und manchmal eine Ehrenbezeichnung ist, als Meister oder Arzt unter uns Es gab einen gewissen gelehrten Mathematiker, der seine in syrischer Sprache verfasste Algebra an Alexander den Großen sandte, und er nannte sie Almucabala, das heißt, das Buch der dunklen oder mysteriösen Dinge, die andere lieber die Lehre der Algebra nennen würden. Bis heute wird dasselbe Buch von den in den orientalischen Nationen Gelehrten sehr geschätzt, und von den Indern, die diese Kunst pflegen, heißt es Aljabra und Alboret; obwohl der Name des Autors selbst nicht bekannt ist. "Die unsichere Berechtigung dieser Aussagen und die Plausibilität der vorhergehenden Erklärung haben die Philologen veranlasst, die Ableitung von zu akzeptieren al und Jabara. Robert Recorde in seinem Schleifstein von Witte (1557) verwendet die Variante algeber, während John Dee (1527-1608) das bestätigt Algiebar, und nicht Algebra, ist die richtige Form und appelliert an die Autorität der arabischen Avicenna.

Obwohl der Begriff "Algebra" heute allgemein gebräuchlich ist, verwendeten die italienischen Mathematiker in der Renaissance verschiedene andere Bezeichnungen. So finden wir Paciolus, der es nennt l'Arte Magiore; Die Regula de la Cosa über Alghebra und Almucabala. Der Name l'arte magiore, Die größere Kunst soll sie von der anderen unterscheiden l'arte minore, die kleinere Kunst, ein Begriff, den er für die moderne Arithmetik verwendete. Seine zweite Variante, la regula de la cosa, die Regel der Sache oder der unbekannten Menge scheint in Italien gebräuchlich gewesen zu sein, und das Wort cosa wurde für mehrere Jahrhunderte in den Formen Coss oder Algebra, Cossic oder Algebraic, Cossist oder Algebraist usw. aufbewahrt. Andere italienische Schriftsteller nannten es das Regula rei et census, die Regel der Sache und des Produktes oder die Wurzel und das Quadrat. Das Prinzip, das diesem Ausdruck zugrunde liegt, besteht wahrscheinlich darin, dass er die Grenzen ihrer Leistungen in der Algebra misst, da sie nicht in der Lage waren, Gleichungen eines höheren Grades als das Quadrat oder das Quadrat zu lösen.

Franciscus Vieta (Francois Viete) nannte es Scheinarithmetik, aufgrund der Art der Mengen, die er symbolisch durch die verschiedenen Buchstaben des Alphabets darstellt. Sir Isaac Newton führte den Begriff Universal Arithmetic ein, da er sich mit der Lehre von Operationen befasst, die nicht auf Zahlen, sondern auf allgemeinen Symbolen beruht.

Ungeachtet dieser und anderer eigenwilliger Bezeichnungen haben europäische Mathematiker an dem älteren Namen festgehalten, unter dem das Fach heute allgemein bekannt ist.

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Es ist schwierig, die Erfindung einer Kunst oder Wissenschaft definitiv einem bestimmten Alter oder einer bestimmten Rasse zuzuordnen. Die wenigen fragmentarischen Aufzeichnungen, die uns aus früheren Zivilisationen überliefert wurden, dürfen nicht als Gesamtheit ihres Wissens angesehen werden, und das Weglassen einer Wissenschaft oder Kunst impliziert nicht notwendigerweise, dass die Wissenschaft oder Kunst unbekannt war. Früher war es Brauch, die Erfindung der Algebra den Griechen zuzuordnen, aber seit der Entzifferung des Rhind-Papyrus durch Eisenlohr hat sich diese Ansicht geändert, denn in dieser Arbeit gibt es deutliche Anzeichen einer algebraischen Analyse. Das spezielle Problem - ein Haufen (hau) und sein siebtes macht 19 - ist gelöst, wie wir jetzt eine einfache Gleichung lösen sollten; aber Ahmes variiert seine Methoden in anderen ähnlichen Problemen. Diese Entdeckung führt die Erfindung der Algebra auf etwa 1700 v. Chr. Zurück, wenn nicht sogar früher.

Es ist wahrscheinlich, dass die Algebra der Ägypter sehr rudimentär war, da wir sonst erwarten sollten, dass sie in den Werken der griechischen Aeometer Spuren findet. von denen Thales von Milet (640-546 v. Chr.) der erste war. Ungeachtet der Prolixität der Autoren und der Anzahl der Schriften waren alle Versuche, eine algebraische Analyse aus ihren geometrischen Theoremen und Problemen zu extrahieren, erfolglos, und es wird allgemein eingeräumt, dass ihre Analyse geometrisch war und wenig oder keine Affinität zur Algebra aufwies. Das erste erhaltene Werk, das sich einer Abhandlung über Algebra nähert, stammt von Diophantus (siehe auch), einem alexandrinischen Mathematiker, der um 350 n. Chr. Florierte. Das Original, das aus einem Vorwort und dreizehn Büchern bestand, ist jetzt verloren, aber wir haben eine lateinische Übersetzung der ersten sechs Bücher und ein Fragment eines anderen über polygonale Zahlen von Xylander aus Augsburg (1575) sowie lateinische und griechische Übersetzungen von Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Andere Ausgaben wurden veröffentlicht, von denen wir Pierre Fermat (1670), T. L. Heath (1885) und P. Tannery (1893-1895) erwähnen können. Im Vorwort zu diesem Werk, das einem Dionysius gewidmet ist, erklärt Diophantus seine Notation und benennt das Quadrat, den Würfel und die vierten Potenzen, Dynamis, Cubus, Dynamodinimus usw. entsprechend der Summe in den Indizes. Das Unbekannte nennt er arithmos, die Zahl, und in Lösungen markiert er es durch das abschließende s; er erklärt die Potenzbildung, die Regeln für die Multiplikation und Division einfacher Größen, behandelt aber nicht die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zusammengesetzter Größen. Anschließend erörtert er verschiedene Artikel zur Vereinfachung von Gleichungen und gibt Methoden an, die noch immer gebräuchlich sind. Im Körper der Arbeit zeigt er beträchtlichen Einfallsreichtum, wenn es darum geht, seine Probleme auf einfache Gleichungen zu reduzieren, die entweder eine direkte Lösung zulassen oder in die als unbestimmte Gleichungen bekannte Klasse fallen. Diese letztere Klasse diskutierte er so gewissenhaft, dass sie oft als diophantinische Probleme bekannt sind, und die Methoden, um sie als diophantinische Analyse zu lösen (siehe GLEICHUNG, Unbestimmt). Es ist schwer zu glauben, dass diese Arbeit von Diophantus in einer Periode des Allgemeinen spontan entstand Stagnation. Es ist mehr als wahrscheinlich, dass er früheren Schriftstellern zu Dank verpflichtet war, die er nicht erwähnt hat und deren Werke jetzt verloren sind. nichtsdestotrotz, aber für diese Arbeit sollte man annehmen, dass die Algebra den Griechen fast, wenn nicht gänzlich unbekannt war.

Die Römer, die die Griechen als zivilisierte Hauptmacht in Europa abgelöst hatten, legten keinen Wert auf ihre literarischen und wissenschaftlichen Schätze. Mathematik wurde so gut wie vernachlässigt; und abgesehen von einigen Verbesserungen bei den arithmetischen Berechnungen sind keine wesentlichen Fortschritte zu verzeichnen.

In der chronologischen Entwicklung unseres Themas müssen wir uns nun dem Orient zuwenden. Die Untersuchung der Schriften indischer Mathematiker hat eine grundlegende Unterscheidung zwischen dem griechischen und dem indischen Geist gezeigt, wobei ersterer überragend geometrisch und spekulativ ist, letzterer arithmetisch und hauptsächlich praktisch. Wir finden, dass die Geometrie vernachlässigt wurde, sofern sie der Astronomie nicht dienlich war. Die Trigonometrie wurde weiterentwickelt, und die Algebra verbesserte sich weit über die Errungenschaften von Diophantus hinaus.

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Der früheste indische Mathematiker, von dem wir bestimmte Kenntnisse haben, ist Aryabhatta, der um den Beginn des 6. Jahrhunderts unserer Ära blühte. Der Ruhm dieses Astronomen und Mathematikers beruht auf seiner Arbeit, der Aryabhattiyam, Das dritte Kapitel ist der Mathematik gewidmet. Ganessa, eine bedeutende Astronomin, Mathematikerin und Gelehrte von Bhaskara, zitiert diese Arbeit und erwähnt die Cuttaca ("Pulverisierer"), eine Vorrichtung zum Lösen unbestimmter Gleichungen. Henry Thomas Colebrooke, einer der frühesten modernen Forscher der hinduistischen Wissenschaft, vermutet, dass die Abhandlung von Aryabhatta sich auf die Bestimmung quadratischer Gleichungen, unbestimmter Gleichungen ersten Grades und wahrscheinlich des zweiten Grades erstreckte. Eine astronomische Arbeit, genannt Surya-Siddhanta ("Kenntnis der Sonne"), die eine unsichere Urheberschaft besaß und wahrscheinlich zum 4. oder 5. Jahrhundert gehörte, wurde von den Hindus als sehr verdienstvoll eingestuft. Sie rangierten sie nur an zweiter Stelle nach Brahmaguptas Werk, das etwa ein Jahrhundert später blühte. Es ist für den historischen Studenten von großem Interesse, denn es zeigt den Einfluss der griechischen Wissenschaft auf die indische Mathematik in einer Zeit vor Aryabhatta. Nach einem Zeitraum von ungefähr einem Jahrhundert, in dem die Mathematik ihr höchstes Niveau erreichte, blühte Brahmagupta (* 598) auf, dessen Werk mit dem Titel Brahma-sphuta-siddhanta ("Das überarbeitete System von Brahma") mehrere Kapitel enthält, die der Mathematik gewidmet sind. Zu den anderen indischen Schriftstellern zählen Cridhara, der Autor einer Ganita-sara ("Quintessenz der Berechnung"), und Padmanabha, der Autor einer Algebra.

Eine Periode der mathematischen Stagnation scheint dann den indischen Geist für eine Zeitspanne von mehreren Jahrhunderten besessen zu haben, denn die Werke des nächsten Autors von jedem Moment stehen Brahmagupta nur wenig voraus. Wir beziehen uns auf Bhaskara Acarya, dessen Arbeit die Siddhanta-ciromani ("Diadem des anastronomischen Systems"), geschrieben 1150, enthält zwei wichtige Kapitel, das Lilavati ("die schöne [Wissenschaft oder Kunst]") und das Viga-ganita ("Wurzel-Extraktion"), die der Arithmetik und dem Algebra.

Englische Übersetzungen der mathematischen Kapitel der Brahma-Siddhanta und Siddhanta-ciromani von H. T. Colebrooke (1817) und von der Surya-Siddhanta von E. Burgess, mit Anmerkungen von W. D. Whitney (1860), kann für Einzelheiten konsultiert werden.

Die Frage, ob sich die Griechen ihre Algebra von den Hindus liehen oder umgekehrt, wurde viel diskutiert. Es besteht kein Zweifel, dass es einen ständigen Verkehr zwischen Griechenland und Indien gab, und es ist mehr als wahrscheinlich, dass ein Produktaustausch mit einem Ideentransfer einhergehen würde. Moritz Cantor vermutet den Einfluss diophantinischer Methoden, insbesondere bei den hinduistischen Lösungen unbestimmter Gleichungen, bei denen bestimmte Fachbegriffe aller Wahrscheinlichkeit nach griechischen Ursprungs sind. Wie dem auch sei, es ist sicher, dass die hinduistischen Algebraisten Diophantus weit voraus waren. Die Mängel der griechischen Symbolik wurden teilweise behoben; Subtraktion wurde durch Platzieren eines Punktes über dem Subtrahend bezeichnet; Multiplikation durch Platzieren von bha (eine Abkürzung für bhavita, das "Produkt") nach dem Faktom; Division, indem der Divisor unter die Dividende gesetzt wird; und Quadratwurzel durch Einfügen von Ka (eine Abkürzung für Karana, irrational) vor der Menge. Das Unbekannte hieß yavattavat, und wenn es mehrere gab, nahm der erste diese Bezeichnung an, und die anderen wurden mit den Namen der Farben bezeichnet; Zum Beispiel wurde x mit ya und y mit ka (von Kalaka, schwarz).

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Eine bemerkenswerte Verbesserung der Ideen von Diophantus ist darin zu sehen, dass die Hindus die Existenz von zwei Wurzeln einer quadratischen Gleichung erkannten, die negativen Wurzeln jedoch als unzureichend angesehen wurden, da für sie keine Interpretation gefunden werden konnte. Es wird auch angenommen, dass sie Entdeckungen der Lösungen höherer Gleichungen vorwegnahmen. Große Fortschritte wurden bei der Untersuchung unbestimmter Gleichungen erzielt, einem Analysezweig, in dem sich Diophantus auszeichnete. Aber während Diophantus eine einzige Lösung anstrebte, strebten die Hindus nach einer allgemeinen Methode, mit der jedes unbestimmte Problem gelöst werden konnte. Dies gelang ihnen vollkommen, denn sie erhielten allgemeine Lösungen für die Gleichungen ax (+ oder -) durch = c, xy = ax + durch + c (seit der Wiederentdeckung durch Leonhard Euler) und cy2 = ax2 + b. Ein besonderer Fall der letzten Gleichung, nämlich y2 = ax2 + 1, belastete die Ressourcen moderner Algebraisten schmerzlich. Es wurde von Pierre de Fermat Bernhard Frenicle de Bessy und 1657 allen Mathematikern vorgeschlagen. John Wallis und Lord Brounker erzielten gemeinsam eine mühsame Lösung, die 1658 und später 1668 von John Pell in seiner Algebra veröffentlicht wurde. Eine Lösung wurde auch von Fermat in seiner Beziehung gegeben. Obwohl Pell nichts mit der Lösung zu tun hatte, hat die Nachwelt in Anerkennung der mathematischen Errungenschaften der Brahmanen die Gleichung Pells Gleichung oder das Problem genannt, wobei es zu Recht das hinduistische Problem sein sollte.

Hermann Hankel hat auf die Bereitschaft hingewiesen, mit der die Hindus von Zahl zu Größe und umgekehrt übergegangen sind. Obwohl dieser Übergang vom diskontinuierlichen zum kontinuierlichen nicht wirklich wissenschaftlich ist, hat er die Entwicklung der Algebra wesentlich verstärkt, und Hankel bestätigt, dass, wenn wir Algebra als Anwendung arithmetischer Operationen auf sowohl rationale als auch irrationale Zahlen oder Größen definieren, die Brahmanen die sind echte Erfinder der Algebra.

Die Integration der zerstreuten Stämme Arabiens im 7. Jahrhundert durch die aufregende religiöse Propaganda von Mahomet ging mit einem kometenhaften Anstieg der intellektuellen Kräfte einer bislang unbekannten Rasse einher. Die Araber wurden die Hüter der indischen und griechischen Wissenschaft, während Europa durch interne Meinungsverschiedenheiten zerrissen wurde. Unter der Herrschaft der Abbasiden wurde Bagdad zum Zentrum des wissenschaftlichen Denkens; Ärzte und Astronomen aus Indien und Syrien strömten an ihren Hof; Griechische und indische Manuskripte wurden übersetzt (ein Werk, das vom Kalifen Mamun (813-833) begonnen und von seinen Nachfolgern geschickt fortgesetzt wurde); und in ungefähr einem Jahrhundert wurden die Araber in den Besitz der riesigen Vorräte an griechischem und indischem Lernen gebracht. Euklids Elemente wurden zuerst in der Regierungszeit von Harun-al-Rashid (786-809) übersetzt und auf Befehl von Mamun überarbeitet. Diese Übersetzungen wurden jedoch als unvollkommen angesehen, und es blieb Tobit ben Korra (836-901) überlassen, eine zufriedenstellende Ausgabe zu erstellen. Ptolemäus Almagest, Die Werke von Apollonius, Archimedes, Diophantus und Teilen des Brahmasiddhanta wurden ebenfalls übersetzt. Der erste bemerkenswerte arabische Mathematiker war Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, der unter Mamun aufblühte. Seine Abhandlung über Algebra und Arithmetik (deren letzterer Teil nur in Form einer lateinischen Übersetzung vorliegt, die 1857 entdeckt wurde) enthält nichts, was den Griechen und Hindus unbekannt war; Es zeigt Methoden, die mit denen beider Rassen verwandt sind, wobei das griechische Element überwiegt. Der Teil, der der Algebra gewidmet ist, trägt den Titel al-jeur wa'lmuqabala, und die Arithmetik beginnt mit "Gesprochen hat Algoritmi", wobei der Name Khwarizmi oder Hovarezmi in das Wort Algoritmi übergegangen ist, das weiter in die moderneren Wörter Algorismus und Algorithmus umgewandelt wurde, was eine Berechnungsmethode bedeutet.

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Tobit ben Korra (836-901), geboren in Harran in Mesopotamien, ein versierter Linguist, Mathematiker und Astronom, leistete auffällige Dienste durch seine Übersetzungen verschiedener griechischer Autoren. Von Bedeutung ist seine Untersuchung der Eigenschaften von gütlichen Zahlen (vgl. V.) und des Problems der Dreiteilung eines Winkels. Die Araber ähnelten in der Studienwahl eher den Hindus als den Griechen; ihre Philosophen mischten spekulative Dissertationen mit dem progressiveren Studium der Medizin; ihre Mathematiker vernachlässigten die Feinheiten der Kegelschnitte und die diophantinische Analyse und wandten sich insbesondere der Vervollkommnung des Systems von Zahlen (siehe ZAHLEN), Arithmetik und Astronomie zu (vgl.…) Die Talente der Rasse wurden der Astronomie und der Trigonometrie verliehen (vgl.…). Fahri des al Karbi, der zu Beginn des 11. Jahrhunderts florierte, ist der Autor der wichtigsten arabischen Arbeiten zur Algebra. Er folgt den Methoden von Diophantus; Seine Arbeit an unbestimmten Gleichungen hat keine Ähnlichkeit mit den indischen Methoden und enthält nichts, was nicht aus Diophantus entnommen werden kann. Er löste sowohl geometrisch als auch algebraisch quadratische Gleichungen sowie Gleichungen der Form x2n + axn + b = 0; er bewies auch bestimmte Beziehungen zwischen der Summe der ersten n natürlichen Zahlen und den Summen ihrer Quadrate und Würfel.

Kubische Gleichungen wurden geometrisch gelöst, indem die Schnittpunkte von Kegelschnitten bestimmt wurden. Archimedes 'Problem, eine Kugel durch eine Ebene in zwei Segmente mit einem vorgegebenen Verhältnis zu teilen, wurde zuerst von Al Mahani als kubische Gleichung ausgedrückt, und die erste Lösung wurde von Abu Gafar al Hazin gegeben. Die Bestimmung der Seite eines regulären Siebenecks, die einem gegebenen Kreis eingeschrieben oder umschrieben werden kann, wurde auf eine kompliziertere Gleichung reduziert, die zuerst von Abul Gud erfolgreich gelöst wurde. Die Methode zum geometrischen Lösen von Gleichungen wurde von Omar Khayyam aus Khorassan, der im 11. Jahrhundert florierte, erheblich weiterentwickelt. Dieser Autor stellte die Möglichkeit in Frage, Kubiken durch reine Algebra und Biquadrate durch Geometrie zu lösen. Seine erste Behauptung wurde erst im 15. Jahrhundert widerlegt, seine zweite jedoch von Abul Weta (940-908), dem es gelang, die Formen x4 = a und x4 + ax3 = b zu lösen.

Obwohl die Grundlagen der geometrischen Auflösung von kubischen Gleichungen den Griechen zuzuschreiben sind (denn Eutocius weist Menaechmus zwei Methoden zur Lösung der Gleichung x3 = a und x3 = 2a3 zu), muss die nachfolgende Entwicklung durch die Araber als eine angesehen werden ihrer wichtigsten Erfolge. Den Griechen war es gelungen, ein isoliertes Beispiel zu lösen; Die Araber haben die allgemeine Lösung der numerischen Gleichungen erreicht.

Beträchtliche Aufmerksamkeit wurde auf die verschiedenen Stile gelenkt, in denen die arabischen Autoren ihr Thema behandelt haben. Moritz Cantor hat vorgeschlagen, dass es zu einer Zeit zwei Schulen gab, eine aus Sympathie mit den Griechen, die andere aus Sympathie mit den Hindus; und dass, obwohl die Schriften von letzteren zuerst studiert wurden, sie schnell für die übersichtlicheren griechischen Methoden verworfen wurden, so dass unter den späteren arabischen Schriftstellern die indischen Methoden praktisch vergessen wurden und ihre Mathematik im Wesentlichen griechischen Charakter bekam.

Wenn wir uns den Arabern im Westen zuwenden, finden wir denselben erleuchteten Geist; Cordoba, die Hauptstadt des maurischen Reiches in Spanien, war ebenso ein Lernzentrum wie Bagdad. Der früheste bekannte spanische Mathematiker ist Al Madshritti (gest. 1007), dessen Ruhm auf einer Dissertation über gütliche Zahlen und auf den von seinen Schülern in Cordoya, Dama und Granada gegründeten Schulen beruht. Gabir ben Allah von Sevilla, im Volksmund Geber genannt, war ein berühmter Astronom und anscheinend in Algebra versiert, denn es wurde vermutet, dass sich das Wort "Algebra" aus seinem Namen zusammensetzt.

Als das maurische Reich begann, die brillanten intellektuellen Gaben, die sie in drei oder vier Jahrhunderten so reichlich genährt hatten, zu schwächen, scheiterten sie daran, einen Autor zu produzieren, der mit dem des 7. bis 11. Jahrhunderts vergleichbar war.

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