Eine Einführung in die Glockenkurve

Eine Normalverteilung wird üblicherweise als Glockenkurve bezeichnet. Diese Art von Kurve wird in Statistiken und in der realen Welt angezeigt. 

Zum Beispiel, nachdem ich in einer meiner Klassen einen Test gegeben habe, ist eine Sache, die ich gerne mache, ein Diagramm aller Punkte zu machen. Normalerweise schreibe ich 10 Punktebereiche auf, z. B. 60-69, 70-79 und 80-89, und setze dann für jedes Testergebnis in diesem Bereich eine Zählmarke. Fast jedes Mal, wenn ich das tue, entsteht eine vertraute Form. Ein paar Studenten machen es sehr gut und einige sehr schlecht. Eine Reihe von Punkten klumpen am Ende um den Mittelwert. Unterschiedliche Tests können zu unterschiedlichen Mitteln und Standardabweichungen führen, aber die Form des Diagramms ist fast immer gleich. Diese Form wird allgemein als Glockenkurve bezeichnet.

Warum eine Glockenkurve? Die Glockenkurve hat ihren Namen ganz einfach, weil ihre Form der einer Glocke ähnelt. Diese Kurven erscheinen während des gesamten Studiums der Statistik, und ihre Bedeutung kann nicht überbetont werden.

Was ist eine Glockenkurve??

Um technisch zu sein, werden die Arten von Glockenkurven, die uns in der Statistik am wichtigsten sind, als normale Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet. Für das Folgende nehmen wir einfach an, dass die Glockenkurven, von denen wir sprechen, normale Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind. Trotz der Bezeichnung "Glockenkurve" sind diese Kurven nicht durch ihre Form definiert. Stattdessen wird eine einschüchternd aussehende Formel als formale Definition für Glockenkurven verwendet.

Aber wir brauchen uns wirklich nicht zu viele Sorgen um die Formel zu machen. Die einzigen zwei Zahlen, die uns interessieren, sind der Mittelwert und die Standardabweichung. Bei der Glockenkurve für einen bestimmten Datensatz befindet sich der Mittelpunkt im Mittelwert. Hier befindet sich der höchste Punkt der Kurve oder die „Spitze der Glocke“. Die Standardabweichung eines Datensatzes bestimmt, wie breit unsere Glockenkurve ist. Je größer die Standardabweichung ist, desto breiter ist die Kurve.

Wichtige Merkmale einer Glockenkurve

Es gibt verschiedene Merkmale von Glockenkurven, die wichtig sind und sie von anderen Kurven in der Statistik unterscheiden:

• Eine Glockenkurve hat einen Modus, der mit dem Mittelwert und dem Median übereinstimmt. Dies ist der Mittelpunkt der Kurve, wo sie am höchsten ist.
• Eine Glockenkurve ist symmetrisch. Wenn es im Mittelwert entlang einer vertikalen Linie gefaltet wäre, würden beide Hälften perfekt zusammenpassen, da sie Spiegelbilder voneinander sind.
• Eine Glockenkurve folgt der 68-95-99.7-Regel, die eine bequeme Möglichkeit bietet, geschätzte Berechnungen durchzuführen:
  • Ungefähr 68% aller Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.
  • Ca. 95% aller Daten liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.
  • Etwa 99,7% der Daten liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Ein Beispiel

Wenn wir wissen, dass eine Glockenkurve unsere Daten modelliert, können wir die obigen Merkmale der Glockenkurve verwenden, um einiges zu sagen. Nehmen wir an, wir haben 100 Schüler, die einen statistischen Test mit einem Durchschnittswert von 70 und einer Standardabweichung von 10 absolviert haben.

Die Standardabweichung ist 10. Subtrahieren und addieren Sie 10 zum Mittelwert. Dies ergibt 60 und 80. Nach der Regel 68-95-99.7 würden wir erwarten, dass 68% von 100 oder 68 Schülern im Test zwischen 60 und 80 Punkte erzielen.

Die zweifache Standardabweichung ist 20. Wenn wir den Mittelwert von 50 und 90 subtrahieren und 20 addieren, erwarten wir, dass etwa 95% von 100 oder 95 Schülern beim Test zwischen 50 und 90 Punkte erzielen.

Eine ähnliche Berechnung zeigt, dass im Test effektiv jeder zwischen 40 und 100 Punkte erzielte.

Verwendung der Glockenkurve

Es gibt viele Anwendungen für Glockenkurven. Sie sind in der Statistik wichtig, da sie eine Vielzahl realer Daten modellieren. Wie oben erwähnt, sind Testergebnisse ein Ort, an dem sie angezeigt werden. Hier sind einige andere:

• Wiederholte Messungen an einem Gerät
• Messungen von Merkmalen in der Biologie
• Ungefähre Zufallsereignisse wie das mehrmalige Werfen einer Münze
• Höhe der Schüler einer bestimmten Klassenstufe in einem Schulbezirk

Wann man die Glockenkurve nicht benutzt

Obwohl es unzählige Anwendungen von Glockenkurven gibt, ist die Verwendung nicht in allen Situationen angemessen. Einige statistische Datensätze, z. B. Geräteausfälle oder Einkommensverteilungen, haben unterschiedliche Formen und sind nicht symmetrisch. In anderen Fällen kann es zwei oder mehr Modi geben, z. B. wenn mehrere Schüler bei einem Test sehr gut und einige sehr schlecht abschneiden. Diese Anwendungen erfordern die Verwendung anderer Kurven, die anders als die Glockenkurve definiert sind. Das Wissen darüber, wie der fragliche Datensatz erhalten wurde, kann dazu beitragen, zu bestimmen, ob eine Glockenkurve zur Darstellung der Daten verwendet werden soll oder nicht.