Berechnung des Korrelationskoeffizienten

Bei der Betrachtung eines Streudiagramms sind viele Fragen zu stellen. Eine der häufigsten ist, wie gut sich eine gerade Linie den Daten annähert. Um dies zu beantworten, gibt es eine beschreibende Statistik, die als Korrelationskoeffizient bezeichnet wird. Wir werden sehen, wie diese Statistik berechnet wird.

Der Korrelationskoeffizient

Der Korrelationskoeffizient, bezeichnet mit r gibt an, wie genau die Daten in einem Streudiagramm auf einer geraden Linie liegen. Je näher der absolute Wert von r Je besser eins ist, desto besser werden die Daten durch eine lineare Gleichung beschrieben. Wenn r = 1 oder r = -1 dann ist der Datensatz perfekt ausgerichtet. Datensätze mit Werten von r nahe Null zeigen wenig bis keine geradlinige Beziehung.

Aufgrund der langwierigen Berechnungen ist es am besten zu berechnen r mit dem Einsatz eines Taschenrechners oder einer Statistiksoftware. Es lohnt sich jedoch immer, zu wissen, was Ihr Rechner bei der Berechnung tut. Was folgt, ist ein Prozess zum Berechnen des Korrelationskoeffizienten hauptsächlich von Hand mit einem Rechner, der für die Routinearithmetikschritte verwendet wird.

Rechenschritte r

Wir beginnen mit der Auflistung der Schritte zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten. Die Daten, mit denen wir arbeiten, sind gepaarte Daten, von denen jedes Paar mit (x_ich,y_ich).

1. Wir beginnen mit ein paar vorläufigen Berechnungen. Die Mengen aus diesen Berechnungen werden in nachfolgenden Schritten unserer Berechnung von verwendet r:
   1. Berechnen Sie x̄, den Mittelwert aller ersten Koordinaten der Daten x_ich.
   2. Berechnen Sie ȳ, den Mittelwert aller zweiten Koordinaten der Daten y_ich.
   3. Berechnung s _x die Stichprobenstandardabweichung aller ersten Koordinaten der Daten x_ich.
   4. Berechnung s _y die Stichprobenstandardabweichung aller zweiten Koordinaten der Daten y_ich.
2. Verwenden Sie die Formel (z_x)_ich = (x_ich - x̄) / s _x und berechnen Sie jeweils einen standardisierten Wert x_ich.
3. Verwenden Sie die Formel (z_y)_ich = (y_ich - ȳ) / s _y und berechnen Sie jeweils einen standardisierten Wert y_ich.
4. Multiplizieren Sie die entsprechenden standardisierten Werte: (z_x)_ich(z_y)_ich
5. Fügen Sie die Produkte aus dem letzten Schritt zusammen.
6. Teilen Sie die Summe aus dem vorherigen Schritt durch n - 1, wo n ist die Gesamtzahl der Punkte in unserem Satz gepaarter Daten. Das Ergebnis all dessen ist der Korrelationskoeffizient r.

Dieser Prozess ist nicht schwer und jeder Schritt ist ziemlich routinemäßig, aber das Sammeln all dieser Schritte ist ziemlich aufwendig. Die Berechnung der Standardabweichung ist alleine schon mühsam genug. Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten beinhaltet jedoch nicht nur zwei Standardabweichungen, sondern eine Vielzahl anderer Operationen.

Ein Beispiel

Um genau zu sehen, wie der Wert von r erhalten wird, schauen wir uns ein Beispiel an. Auch hier ist zu beachten, dass wir für praktische Anwendungen unseren Taschenrechner oder unsere Statistiksoftware zur Berechnung verwenden möchten r für uns.

Wir beginnen mit einer Auflistung gepaarter Daten: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). Der Mittelwert der x Werte, der Mittelwert von 1, 2, 4 und 5 ist x̄ = 3. Wir haben auch ȳ = 4. Die Standardabweichung von x Werte ist s_x = 1,83 und s_y = 2,58. In der folgenden Tabelle sind die anderen Berechnungen zusammengefasst, die für erforderlich sind r. Die Summe der Produkte in der rechten Spalte ist 2.969848. Da es insgesamt vier Punkte gibt und 4 - 1 = 3, dividieren wir die Summe der Produkte durch 3. Dies ergibt einen Korrelationskoeffizienten von r = 2,969848 / 3 = 0,989949.

Tabelle für ein Beispiel zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten

x	y	zx	zy	zxzy
1	1	-1.09544503	-1.161894958	1,272792057
2	3	-0,547722515	-0,387298319	0,212132009
4	5	0,547722515	0,387298319	0,212132009
5	7	1.09544503	1.161894958	1,272792057