Berechnung der mittleren absoluten Abweichung
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Es gibt viele Messungen der Ausbreitung oder Streuung in der Statistik. Obwohl der Bereich und die Standardabweichung am häufigsten verwendet werden, gibt es andere Möglichkeiten, die Dispersion zu quantifizieren. Wir werden uns ansehen, wie die mittlere absolute Abweichung für einen Datensatz berechnet wird.
Definition
Wir beginnen mit der Definition der mittleren absoluten Abweichung, die auch als durchschnittliche absolute Abweichung bezeichnet wird. Die in diesem Artikel angezeigte Formel ist die formale Definition der mittleren absoluten Abweichung. Es kann sinnvoller sein, diese Formel als einen Prozess oder eine Reihe von Schritten zu betrachten, mit denen wir unsere Statistik erhalten können.
- Wir beginnen mit einem Durchschnitt oder einer Messung der Mitte eines Datensatzes, den wir mit bezeichnen werden m.
- Als Nächstes ermitteln wir, um wie viel die einzelnen Datenwerte voneinander abweichen m. Dies bedeutet, dass wir die Differenz zwischen jedem der Datenwerte und nehmen m.
- Danach nehmen wir den absoluten Wert jeder Differenz aus dem vorherigen Schritt. Mit anderen Worten, wir lassen alle negativen Vorzeichen für die Unterschiede fallen. Der Grund dafür ist, dass es positive und negative Abweichungen von gibt m. Wenn wir keine Möglichkeit finden, die negativen Vorzeichen zu beseitigen, heben sich alle Abweichungen auf, wenn wir sie addieren.
- Jetzt addieren wir alle diese absoluten Werte.
- Zum Schluss dividieren wir diese Summe durch n, Das ist die Gesamtzahl der Datenwerte. Das Ergebnis ist die mittlere absolute Abweichung.
Variationen
Es gibt verschiedene Variationen für den obigen Prozess. Beachten Sie, dass wir nicht genau angegeben haben, was m ist. Der Grund dafür ist, dass wir für eine Vielzahl von Statistiken verwenden könnten m. Typischerweise ist dies das Zentrum unseres Datensatzes, und daher können alle Messungen der zentralen Tendenz verwendet werden.
Die gebräuchlichsten statistischen Messungen der Mitte eines Datensatzes sind der Mittelwert, der Median und der Modus. Somit könnte jedes von diesen als verwendet werden m bei der Berechnung der mittleren absoluten Abweichung. Daher ist es üblich, sich auf die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert oder die mittlere absolute Abweichung vom Median zu beziehen. Wir werden einige Beispiele dafür sehen.
Beispiel: Mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert
Angenommen, wir beginnen mit dem folgenden Datensatz:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Der Mittelwert dieses Datensatzes ist 5. Die folgende Tabelle organisiert unsere Arbeit zur Berechnung der mittleren absoluten Abweichung vom Mittelwert.
| Datenwert | Abweichung vom Mittelwert | Absoluter Wert der Abweichung |
| 1 | 1 - 5 = -4 | | -4 | = 4 |
| 2 | 2 - 5 = -3 | | -3 | = 3 |
| 2 | 2 - 5 = -3 | | -3 | = 3 |
| 3 | 3 - 5 = -2 | | -2 | = 2 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 9 | 9 - 5 = 4 | | 4 | = 4 |
| Summe der absoluten Abweichungen: | 24 |
Wir teilen diese Summe nun durch 10, da es insgesamt zehn Datenwerte gibt. Die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert beträgt 24/10 = 2,4.
Beispiel: Mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert
Nun beginnen wir mit einem anderen Datensatz:
1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.
Genau wie beim vorherigen Datensatz beträgt der Mittelwert dieses Datensatzes 5.
| Datenwert | Abweichung vom Mittelwert | Absoluter Wert der Abweichung |
| 1 | 1 - 5 = -4 | | -4 | = 4 |
| 1 | 1 - 5 = -4 | | -4 | = 4 |
| 4 | 4 - 5 = -1 | | -1 | = 1 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 10 | 10 - 5 = 5 | | 5 | = 5 |
| Summe der absoluten Abweichungen: | 18 |
Die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert beträgt somit 18/10 = 1,8. Wir vergleichen dieses Ergebnis mit dem ersten Beispiel. Obwohl der Mittelwert für jedes dieser Beispiele identisch war, waren die Daten im ersten Beispiel weiter verteilt. Wir sehen aus diesen beiden Beispielen, dass die mittlere absolute Abweichung vom ersten Beispiel größer ist als die mittlere absolute Abweichung vom zweiten Beispiel. Je größer die mittlere absolute Abweichung ist, desto größer ist die Streuung unserer Daten.
Beispiel: Mittlere absolute Abweichung über den Median
Beginnen Sie mit demselben Datensatz wie im ersten Beispiel:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Der Median des Datensatzes ist 6. In der folgenden Tabelle zeigen wir die Details der Berechnung der mittleren absoluten Abweichung vom Median.
| Datenwert | Abweichung vom Median | Absoluter Wert der Abweichung |
| 1 | 1 - 6 = -5 | | -5 | = 5 |
| 2 | 2 - 6 = -4 | | -4 | = 4 |
| 2 | 2 - 6 = -4 | | -4 | = 4 |
| 3 | 3 - 6 = -3 | | -3 | = 3 |
| 5 | 5 - 6 = -1 | | -1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 9 | 9 - 6 = 3 | | 3 | = 3 |
| Summe der absoluten Abweichungen: | 24 |
Wieder dividieren wir die Summe durch 10 und erhalten eine durchschnittliche Abweichung um den Median von 24/10 = 2,4.
Beispiel: Mittlere absolute Abweichung über den Median
Beginnen Sie mit demselben Datensatz wie zuvor:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Diesmal ist der Modus dieses Datensatzes 7. In der folgenden Tabelle zeigen wir die Details der Berechnung der mittleren absoluten Abweichung über den Modus.
| Daten | Abweichung vom Modus | Absoluter Wert der Abweichung |
| 1 | 1 - 7 = -6 | | -5 | = 6 |
| 2 | 2 - 7 = -5 | | -5 | = 5 |
| 2 | 2 - 7 = -5 | | -5 | = 5 |
| 3 | 3 - 7 = -4 | | -4 | = 4 |
| 5 | 5 - 7 = -2 | | -2 | = 2 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 9 | 9 - 7 = 2 | | 2 | = 2 |
| Summe der absoluten Abweichungen: | 22 |
Wir dividieren die Summe der absoluten Abweichungen und sehen, dass wir eine mittlere absolute Abweichung um den Modus 22/10 = 2,2 haben.
Kurzinformation
Bezüglich der mittleren absoluten Abweichungen gibt es einige grundlegende Eigenschaften
- Die mittlere absolute Abweichung um den Median ist immer kleiner oder gleich der mittleren absoluten Abweichung um den Mittelwert.
- Die Standardabweichung ist größer oder gleich der mittleren absoluten Abweichung vom Mittelwert.
- Die mittlere absolute Abweichung wird manchmal mit MAD abgekürzt. Leider kann dies mehrdeutig sein, da sich MAD alternativ auf die mediane absolute Abweichung beziehen kann.
- Die mittlere absolute Abweichung für eine Normalverteilung beträgt ungefähr das 0,8-fache der Größe der Standardabweichung.
Gemeinsame Verwendungen
Die mittlere absolute Abweichung hat einige Anwendungen. Die erste Anwendung ist, dass diese Statistik verwendet werden kann, um einige der Ideen hinter der Standardabweichung zu vermitteln. Die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert ist viel einfacher zu berechnen als die Standardabweichung. Es ist nicht erforderlich, dass wir die Abweichungen quadrieren, und wir müssen am Ende unserer Berechnung keine Quadratwurzel finden. Darüber hinaus hängt die mittlere absolute Abweichung intuitiver mit der Streuung des Datensatzes zusammen als die Standardabweichung. Aus diesem Grund wird die mittlere absolute Abweichung manchmal zuerst eingelernt, bevor die Standardabweichung eingeführt wird.
Einige argumentierten sogar, dass die Standardabweichung durch die mittlere absolute Abweichung ersetzt werden sollte. Obwohl die Standardabweichung für wissenschaftliche und mathematische Anwendungen wichtig ist, ist sie nicht so intuitiv wie die mittlere absolute Abweichung. Bei alltäglichen Anwendungen ist die mittlere absolute Abweichung eine greifbarere Methode, um die Verteilung der Daten zu messen.
