Berechnung der Wahrscheinlichkeit der zufälligen Auswahl einer Primzahl

Die Zahlentheorie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Menge der ganzen Zahlen befasst. Wir schränken uns dadurch etwas ein, da wir andere Zahlen wie Irrationen nicht direkt untersuchen. Es werden jedoch auch andere Typen von reellen Zahlen verwendet. Darüber hinaus hat das Thema Wahrscheinlichkeit viele Zusammenhänge und Schnittpunkte mit der Zahlentheorie. Eine dieser Verbindungen hat mit der Verteilung von Primzahlen zu tun. Genauer können wir fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine zufällig gewählte ganze Zahl von 1 bis x ist eine Primzahl?

Annahmen und Definitionen

Wie bei jedem mathematischen Problem ist es wichtig, nicht nur zu verstehen, welche Annahmen getroffen werden, sondern auch die Definitionen aller Schlüsselbegriffe des Problems. Für dieses Problem betrachten wir die positiven ganzen Zahlen, dh die ganzen Zahlen 1, 2, 3, ... bis zu einer bestimmten Zahl x. Wir wählen zufällig eine dieser Zahlen aus, was bedeutet, dass alle x von ihnen werden wahrscheinlich gleichermaßen gewählt.

Wir versuchen die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine Primzahl gewählt wird. Daher müssen wir die Definition einer Primzahl verstehen. Eine Primzahl ist eine positive Ganzzahl, die genau zwei Faktoren hat. Dies bedeutet, dass die einzigen Teiler von Primzahlen eins und die Zahl selbst sind. 2,3 und 5 sind also Primzahlen, aber 4, 8 und 12 sind keine Primzahlen. Wir stellen fest, dass die Zahl 1 ist, weil es zwei Faktoren in einer Primzahl geben muss nicht prime.

Lösung für niedrige Zahlen

Die Lösung für dieses Problem ist für niedrige Zahlen unkompliziert x. Alles was wir tun müssen, ist einfach die Anzahl der Primzahlen zu zählen, die kleiner oder gleich sind x. Wir teilen die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x durch die Nummer x.

Um beispielsweise die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass eine Primzahl zwischen 1 und 10 ausgewählt ist, müssen wir die Anzahl der Primzahlen von 1 bis 10 durch 10 teilen. Die Zahlen 2, 3, 5, 7 sind Primzahlen, also die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Primzahl handelt ausgewählt ist 4/10 = 40%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl von 1 bis 50 ausgewählt wird, kann auf ähnliche Weise ermittelt werden. Die Primzahlen, die kleiner als 50 sind, sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47. Es gibt 15 Primzahlen kleiner oder gleich 50. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl zufällig ausgewählt wird, 15/50 = 30%..

Dieser Vorgang kann durch einfaches Zählen von Primzahlen ausgeführt werden, solange eine Liste von Primzahlen vorliegt. Zum Beispiel gibt es 25 Primzahlen kleiner oder gleich 100. (Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zahl von 1 bis 100 eine Primzahl ist, beträgt 25/100 = 25%.) Wenn wir jedoch keine Liste von Primzahlen haben, Es könnte rechenintensiv sein, die Menge der Primzahlen zu bestimmen, die kleiner oder gleich einer bestimmten Zahl sind x.

Der Primzahlsatz

Wenn Sie nicht über die Anzahl der Primzahlen verfügen, die kleiner oder gleich sind x, Dann gibt es einen alternativen Weg, um dieses Problem zu lösen. Die Lösung beinhaltet ein mathematisches Ergebnis, das als Primzahlensatz bekannt ist. Dies ist eine Aussage über die Gesamtverteilung der Primzahlen und kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit, die wir zu bestimmen versuchen, anzunähern.

Der Primzahlsatz besagt, dass es ungefähr gibt x / ln (x) Primzahlen kleiner oder gleich x. Hier in (x) bezeichnet den natürlichen Logarithmus von x, oder mit anderen Worten der Logarithmus mit einer Basis der Zahl e. Als Wert von x erhöht sich die Annäherung verbessert sich in dem Sinne, dass wir eine Abnahme des relativen Fehlers zwischen der Anzahl der Primzahlen sehen als x und der Ausdruck x / ln (x).

Anwendung des Primzahlsatzes

Wir können das Ergebnis des Primzahlsatzes verwenden, um das Problem zu lösen, das wir ansprechen wollen. Wir wissen durch den Primzahlsatz, dass es ungefähr gibt x / ln (x) Primzahlen kleiner oder gleich x. Darüber hinaus gibt es insgesamt x positive ganze Zahlen kleiner oder gleich x. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zahl in diesem Bereich eine Primzahl ist, (x / ln (x)) /x = 1 / ln (x).

Beispiel

Wir können dieses Ergebnis nun verwenden, um die Wahrscheinlichkeit der zufälligen Auswahl einer Primzahl aus den ersten Milliarden ganzen Zahlen zu schätzen. Wir berechnen den natürlichen Logarithmus einer Milliarde und sehen, dass ln (1.000.000.000) ungefähr 20,7 und 1 / ln (1.000.000.000) ungefähr 0,0483 beträgt. Wir haben also eine Wahrscheinlichkeit von 4,83%, dass wir zufällig eine Primzahl aus den ersten Milliarden ganzen Zahlen auswählen.