Definition und Beispiele eines Stichprobenraums in der Statistik

Die Sammlung aller möglichen Ergebnisse eines Wahrscheinlichkeitsexperiments bildet eine Menge, die als Probenraum bezeichnet wird.

Die Wahrscheinlichkeit befasst sich mit zufälligen Phänomenen oder Wahrscheinlichkeitsexperimenten. Diese Experimente sind alle von unterschiedlicher Natur und können so unterschiedliche Dinge wie das Würfeln oder Werfen von Münzen betreffen. Der rote Faden bei diesen Wahrscheinlichkeitsexperimenten ist, dass es beobachtbare Ergebnisse gibt. Das Ergebnis erfolgt zufällig und ist vor Durchführung des Experiments nicht bekannt. 

In dieser Mengenformulierung der Wahrscheinlichkeit entspricht der Probenraum für ein Problem einer wichtigen Menge. Da der Probenraum alle möglichen Ergebnisse enthält, bildet er eine Menge von allem, was wir berücksichtigen können. So wird der Probenraum zur universellen Menge, die für ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsexperiment verwendet wird.

Gemeinsame Probenräume

Sampleräume gibt es zuhauf und es gibt unendlich viele. Es gibt jedoch einige, die häufig für Beispiele in einer Einführungsstatistik oder einem Wahrscheinlichkeitskurs verwendet werden. Nachfolgend sind die Experimente und ihre entsprechenden Probenräume aufgeführt:

• Für das Experiment des Münzwurfs ist der Probenraum Heads, Tails. In diesem Beispielraum befinden sich zwei Elemente.
• Für das Experiment, bei dem zwei Münzen geworfen werden, ist der Probenraum (Köpfe, Köpfe), (Köpfe, Schwänze), (Schwänze, Köpfe), (Schwänze, Schwänze). Dieser Probenraum besteht aus vier Elementen.
• Für den Versuch, drei Münzen zu werfen, ist der Probenraum (Köpfe, Köpfe, Köpfe), (Köpfe, Köpfe, Schwänze), (Köpfe, Schwänze, Köpfe), (Köpfe, Schwänze, Schwänze), (Schwänze, Köpfe, Köpfe), (Schwänze, Köpfe, Schwänze), (Schwänze, Schwänze, Köpfe), (Schwänze, Schwänze, Schwänze). Dieser Probenraum besteht aus acht Elementen.
• Für das Experiment des Flippens n Münzen, wo n ist eine positive ganze Zahl, der Probenraum besteht aus 2ⁿ Elemente. Es gibt insgesamt C (n, k) Möglichkeiten zu erhalten k Köpfe und n - k Schwänze für jede Zahl k von 0 bis n.
• Für das Experiment, bei dem ein einzelner sechsseitiger Würfel gewürfelt wird, beträgt der Probenraum 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Für den Versuch, zwei sechsseitige Würfel zu werfen, besteht der Probenraum aus der Menge der 36 möglichen Paare der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
• Für den Versuch, drei sechsseitige Würfel zu werfen, besteht der Probenraum aus der Menge der 216 möglichen Tripel der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
• Für das Experiment des Rollens n sechsseitige Würfel, wo n ist eine positive ganze Zahl, der Probenraum besteht aus 6ⁿ Elemente.
• Für ein Experiment zum Zeichnen von einem Standardkartenstapel ist der Probenraum der Satz, der alle 52 Karten in einem Stapel auflistet. In diesem Beispiel konnte der Probenraum nur bestimmte Merkmale der Karten berücksichtigen, z. B. Rang oder Farbe.

Andere Probenräume bilden

Die obige Liste enthält einige der am häufigsten verwendeten Beispielräume. Andere sind für verschiedene Experimente da draußen. Es ist auch möglich, mehrere der obigen Versuche zu kombinieren. Wenn dies erledigt ist, erhalten wir einen Probenraum, der das kartesische Produkt unserer einzelnen Probenräume ist. Wir können auch ein Baumdiagramm verwenden, um diese Beispielräume zu bilden.

Zum Beispiel möchten wir vielleicht ein Wahrscheinlichkeitsexperiment analysieren, bei dem wir zuerst eine Münze werfen und dann einen Würfel werfen. Da es zwei Ergebnisse für das Werfen einer Münze und sechs Ergebnisse für das Werfen eines Würfels gibt, gibt es insgesamt 2 x 6 = 12 Ergebnisse im betrachteten Probenraum.