Definition und Verwendung von Union in der Mathematik

Eine Operation, die häufig verwendet wird, um aus alten Mengen neue Mengen zu bilden, heißt Vereinigung. Im allgemeinen Sprachgebrauch bedeutet das Wort Gewerkschaft eine Zusammenführung wie Gewerkschaften in organisierten Arbeitsverhältnissen oder die Ansprache des Unionsstaats, die der US-Präsident vor einer gemeinsamen Kongresssitzung hält. In mathematischer Hinsicht behält die Vereinigung zweier Mengen diese Idee der Vereinigung bei. Genauer gesagt die Vereinigung zweier Mengen EIN und B ist die Menge aller Elemente x so dass x ist ein Element der Menge EIN oder x ist ein Element der Menge B. Das Wort, das bedeutet, dass wir eine Union verwenden, ist das Wort "oder".

Das Wort "Oder"

Wenn wir das Wort "oder" in alltäglichen Gesprächen verwenden, stellen wir möglicherweise nicht fest, dass dieses Wort auf zwei verschiedene Arten verwendet wird. Der Weg wird normalerweise aus dem Kontext des Gesprächs abgeleitet. Wenn Sie gefragt wurden, ob Sie das Hühnchen oder das Steak mögen, könnte dies bedeuten, dass Sie das eine oder das andere haben, aber nicht beide. Vergleichen Sie dies mit der Frage: "Möchten Sie Butter oder Sauerrahm auf Ihrer Ofenkartoffel?" Hier wird "oder" im umfassenden Sinne verwendet, indem Sie nur Butter, nur Sauerrahm oder sowohl Butter als auch Sauerrahm auswählen können.

In der Mathematik wird das Wort "oder" im inklusiven Sinne verwendet. Also die Aussage, "x ist ein Element von EIN oder ein Element von B"bedeutet, dass einer der drei möglich ist:

• x ist ein Element von gerecht EIN und kein Element von B
• x ist ein Element von gerecht B und kein Element von EIN.
• x ist ein Element von beidem EIN und B. (Das können wir auch so sagen x ist ein Element der Schnittmenge von EIN und B

Beispiel

Als Beispiel dafür, wie die Vereinigung zweier Mengen eine neue Menge bildet, betrachten wir die Mengen EIN = 1, 2, 3, 4, 5 und B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Um die Vereinigung dieser beiden Mengen zu finden, listen wir einfach jedes Element auf, das wir sehen, und achten darauf, keine Elemente zu duplizieren. Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sind entweder in der einen oder in der anderen Menge, daher die Vereinigung von EIN und B ist 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Notation für Union

Neben dem Verständnis der Konzepte für Mengenoperationen ist es wichtig, Symbole zu lesen, die zur Bezeichnung dieser Operationen verwendet werden. Das Symbol für die Vereinigung der beiden Mengen EIN und B ist gegeben durch EIN ∪ B. Eine Möglichkeit, sich daran zu erinnern, dass das Symbol ∪ sich auf Vereinigung bezieht, besteht darin, seine Ähnlichkeit mit einem Großbuchstaben U zu bemerken, das für das Wort „Vereinigung“ steht. Einer wird durch einen vertikalen Flip von dem anderen erhalten.

Sehen Sie sich das obige Beispiel an, um diese Notation in Aktion zu sehen. Hier hatten wir die Sets EIN = 1, 2, 3, 4, 5 und B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Also schreiben wir die Mengengleichung EIN ∪ B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Union mit dem leeren Set

Eine grundlegende Identität, die die Vereinigung einbezieht, zeigt uns, was passiert, wenn wir die Vereinigung einer Menge mit der leeren Menge nehmen, die mit # 8709 bezeichnet ist. Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente. Wenn Sie dies also mit einem anderen Set verbinden, hat dies keine Auswirkungen. Mit anderen Worten, die Vereinigung jeder Menge mit der leeren Menge gibt uns die ursprüngliche Menge zurück

Diese Identität wird durch die Verwendung unserer Notation noch kompakter. Wir haben die Identität: EIN ∪ ∅ = EIN.

Union mit dem Universal-Set

Was passiert im anderen Extremfall, wenn wir die Vereinigung einer Menge mit der universellen Menge untersuchen? Da die universelle Menge jedes Element enthält, können wir dem nichts hinzufügen. Die Vereinigung oder ein beliebiger Satz mit dem universellen Satz ist also der universelle Satz.

Wieder hilft uns unsere Notation, diese Identität in einem kompakteren Format auszudrücken. Für jeden Satz EIN und das universelle Set U, EIN ∪ U = U.

Andere die Union einbeziehende Identitäten

Es gibt viel mehr festgelegte Identitäten, die die Verwendung der Gewerkschaftsoperation beinhalten. Natürlich ist es immer gut, die Sprache der Mengenlehre anzuwenden. Einige der wichtigsten sind nachstehend aufgeführt. Für alle Sets EIN, und B und D wir haben:

• Reflexive Eigenschaft: EIN ∪ EIN =EIN
• Kommutativgesetz: EIN ∪ B = B ∪ EIN
• Assoziatives Eigentum: (EIN ∪ B) ∪ D =EIN ∪ (B ∪ D)
• DeMorgans Gesetz I: (EIN ∩ B)^C = EIN^C ∪ B^C
• DeMorgans Gesetz II: (EIN ∪ B)^C = EIN^C ∩ B^C