Freiheitsgrade in Statistik und Mathematik

In der Statistik wird anhand der Freiheitsgrade festgelegt, wie viele unabhängige Größen einer statistischen Verteilung zugeordnet werden können. Diese Zahl bezieht sich normalerweise auf eine positive ganze Zahl, die darauf hinweist, dass die Fähigkeit einer Person, fehlende Faktoren aus statistischen Problemen zu berechnen, nicht eingeschränkt ist.

Freiheitsgrade dienen als Variablen bei der endgültigen Berechnung einer Statistik und werden verwendet, um das Ergebnis verschiedener Szenarien in einem System zu bestimmen. In mathematischen Freiheitsgraden wird die Anzahl der Dimensionen in einer Domäne definiert, die zur Bestimmung des vollständigen Vektors erforderlich sind.

Um das Konzept eines Freiheitsgrades zu veranschaulichen, betrachten wir eine grundlegende Berechnung des Stichprobenmittelwerts. Um den Mittelwert einer Datenliste zu ermitteln, addieren wir alle Daten und dividieren durch die Gesamtzahl der Werte.

Eine Illustration mit einem Beispielmittelwert

Nehmen wir für einen Moment an, wir wissen, dass der Mittelwert eines Datensatzes 25 ist und dass die Werte in diesem Satz 20, 10, 50 und eine unbekannte Zahl sind. Die Formel für einen Stichprobenmittelwert liefert die Gleichung (20 + 10 + 50 + x) / 4 = 25, wo x bezeichnet das Unbekannte, mit Hilfe einiger grundlegender Algebra kann man dann feststellen, dass die Zahl fehlt, x, ist gleich 20.

Lassen Sie uns dieses Szenario leicht ändern. Wir nehmen wieder an, dass wir wissen, dass der Mittelwert eines Datensatzes 25 ist. Diesmal sind die Werte im Datensatz jedoch 20, 10 und zwei unbekannte Werte. Diese Unbekannten können unterschiedlich sein, daher verwenden wir zwei verschiedene Variablen, x, und y, um dies zu bezeichnen. Die resultierende Gleichung lautet (20 + 10 + x + y) / 4 = 25. Mit etwas Algebra erhalten wir y = 70- x. Die Formel wird in dieser Form geschrieben, um zu zeigen, dass wir nach Auswahl eines Wertes für x, der Wert für y ist völlig bestimmt. Wir müssen eine Wahl treffen, und dies zeigt, dass es einen Freiheitsgrad gibt.

Jetzt schauen wir uns eine Stichprobengröße von einhundert an. Wenn wir wissen, dass der Mittelwert dieser Beispieldaten 20 beträgt, aber die Werte der Daten nicht kennen, gibt es 99 Freiheitsgrade. Alle Werte müssen sich zu insgesamt 20 x 100 = 2000 addieren. Wenn wir die Werte von 99 Elementen im Datensatz haben, ist der letzte bestimmt worden.

Schüler-T-Score und Chi-Quadrat-Verteilung

Freiheitsgrade spielen eine wichtige Rolle bei der Verwendung des Schülers t-Score-Tabelle. Es gibt tatsächlich mehrere t-score Verteilungen. Wir unterscheiden diese Verteilungen nach Freiheitsgraden.

Hier hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wir verwenden, von der Größe unserer Stichprobe ab. Wenn unsere Stichprobengröße ist n, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade n-1. Bei einer Stichprobengröße von 22 müssten wir beispielsweise die Zeile von verwenden t-Punktetabelle mit 21 Freiheitsgraden.

Die Verwendung einer Chi-Quadrat-Verteilung erfordert auch die Verwendung von Freiheitsgraden. Hier in gleicher Weise wie bei der t-score Verteilung bestimmt die Stichprobengröße, welche Verteilung verwendet werden soll. Wenn die Stichprobengröße ist n, dann gibt es n-1 Freiheitsgrade.

Standardabweichung und fortgeschrittene Techniken

Ein weiterer Ort, an dem Freiheitsgrade angezeigt werden, ist in der Formel für die Standardabweichung angegeben. Dieses Vorkommen ist nicht so offensichtlich, aber wir können es sehen, wenn wir wissen, wo wir suchen müssen. Um eine Standardabweichung zu finden, wird die "durchschnittliche" Abweichung vom Mittelwert gesucht. Nachdem wir jedoch den Mittelwert von jedem Datenwert abgezogen und die Differenzen quadriert haben, erhalten wir eine Division durch n-1 eher, als n wie wir vielleicht erwarten.

Die Anwesenheit der n-1 kommt von der Anzahl der Freiheitsgrade. Seit der n Datenwerte und der Stichprobenmittelwert werden in der Formel verwendet, gibt es n-1 Freiheitsgrade.

Fortgeschrittenere statistische Techniken verwenden kompliziertere Methoden zum Zählen der Freiheitsgrade. Bei der Berechnung der Teststatistik für zwei Mittelwerte mit unabhängigen Stichproben von n₁ und n₂ Elemente, die Anzahl der Freiheitsgrade hat eine recht komplizierte Formel. Es kann geschätzt werden, indem das kleinere von verwendet wird n₁-1 und n₂-1

Ein weiteres Beispiel für eine andere Art, die Freiheitsgrade zu zählen, ist a F Prüfung. Bei der Durchführung eines F Test haben wir k Proben jeder Größe n-die freiheitsgrade im zähler sind k-1 und im Nenner ist k(n-1).