Exponentialfunktion und Zerfall

In der Mathematik beschreibt der exponentielle Zerfall den Vorgang des Reduzierens eines Betrags um einen konsistenten Prozentsatz über einen bestimmten Zeitraum. Es kann durch die Formel ausgedrückt werden y = a (1-b)^x worin y ist der endgültige Betrag, ein ist der ursprüngliche Betrag, b ist der Zerfallsfaktor und x ist die Zeit, die vergangen ist.

Die exponentielle Zerfallsformel eignet sich für eine Vielzahl von Anwendungen in der Praxis, insbesondere zur Verfolgung von Beständen, die regelmäßig in der gleichen Menge verbraucht werden (z. B. Lebensmittel für eine Schulkantine), und ist besonders nützlich für die schnelle Abschätzung der langfristigen Kosten der Verwendung eines Produkts im Laufe der Zeit.

Der exponentielle Zerfall unterscheidet sich vom linearen Zerfall dadurch, dass der Zerfallsfaktor von einem Prozentsatz des ursprünglichen Betrags abhängt. Dies bedeutet, dass sich die tatsächliche Zahl, um die der ursprüngliche Betrag verringert werden könnte, im Laufe der Zeit ändert, während eine lineare Funktion den ursprünglichen Betrag jeweils um denselben Betrag verringert Zeit.

Es ist auch das Gegenteil von exponentiellem Wachstum, das typischerweise an den Aktienmärkten auftritt, an denen der Wert eines Unternehmens im Laufe der Zeit exponentiell wächst, bevor es ein Plateau erreicht. Sie können die Unterschiede zwischen exponentiellem Wachstum und Zerfall vergleichen und gegenüberstellen, aber es ist ziemlich einfach: Einer erhöht den ursprünglichen Betrag und der andere verringert ihn.

Elemente einer exponentiellen Zerfallsformel

Zunächst ist es wichtig, die Exponentialzerfallsformel zu erkennen und jedes ihrer Elemente zu identifizieren:

y = a (1-b)^x

Um die Nützlichkeit der Zerfallsformel richtig zu verstehen, ist es wichtig zu verstehen, wie jeder der Faktoren definiert ist, beginnend mit der Phrase "Zerfallsfaktor", die durch den Buchstaben dargestellt wird b in der exponentiellen Zerfallsformel - das ist ein Prozentsatz, um den der ursprüngliche Betrag jedes Mal abnimmt.

Der ursprüngliche Betrag wird hier durch den Brief dargestellt ein In der Formel ist die Menge, bevor der Zerfall eintritt. Wenn Sie also in praktischer Hinsicht darüber nachdenken, ist die ursprüngliche Menge die Menge an Äpfeln, die eine Bäckerei kauft, und der Exponentialfaktor ist der Prozentsatz an Äpfeln, die pro Stunde verbraucht werden Kuchen machen.

Der Exponent, der im Fall eines exponentiellen Zerfalls immer die Zeit ist und durch den Buchstaben x ausgedrückt wird, gibt an, wie oft der Zerfall auftritt und wird normalerweise in Sekunden, Minuten, Stunden, Tagen oder Jahren ausgedrückt.

Ein Beispiel für exponentiellen Zerfall

Verwenden Sie das folgende Beispiel, um das Konzept des exponentiellen Zerfalls in einem realen Szenario zu verstehen:

Am Montag bedient die Cafeteria von Ledwith 5.000 Kunden, aber am Dienstagmorgen wird in den lokalen Nachrichten berichtet, dass das Restaurant die Gesundheitskontrolle nicht besteht und Verstöße im Zusammenhang mit der Schädlingsbekämpfung begangen hat. Dienstags bedient die Cafeteria 2.500 Kunden. Mittwochs bedient die Cafeteria nur 1.250 Kunden. Donnerstags bedient die Cafeteria knapp 625 Gäste.

Wie Sie sehen, ging die Anzahl der Kunden täglich um 50 Prozent zurück. Diese Art der Abnahme unterscheidet sich von einer linearen Funktion. In einer linearen Funktion würde die Anzahl der Kunden jeden Tag um den gleichen Betrag sinken. Der ursprüngliche Betrag (ein) wäre 5.000, der Zerfallsfaktor (b ) wäre daher 0,5 (50 Prozent als Dezimalzahl geschrieben) und der Wert von Zeit (x) würde davon abhängen, für wie viele Tage Ledwith die Ergebnisse vorhersagen möchte.

Wenn Ledwith fragen würde, wie viele Kunden er in fünf Tagen verlieren würde, wenn sich der Trend fortsetzen würde, könnte sein Buchhalter die Lösung finden, indem er alle obigen Zahlen in die exponentielle Zerfallsformel einfügt, um Folgendes zu erhalten:

y = 5000 (1-5)⁵

Die Lösung ergibt 312 und eine Hälfte, aber da Sie keinen halben Kunden haben können, würde der Buchhalter die Zahl auf 313 aufrunden und in der Lage sein zu sagen, dass Ledwith in fünf Tagen weitere 313 Kunden verlieren könnte!