So berechnen Sie den erwarteten Wert beim Roulette

Das Konzept des erwarteten Wertes kann verwendet werden, um das Casino-Roulette-Spiel zu analysieren. Wir können diese Idee aus der Wahrscheinlichkeit heraus verwenden, um zu bestimmen, wie viel Geld wir auf lange Sicht durch das Spielen von Roulette verlieren werden. 

Hintergrund

Ein Rouletterad in den USA enthält 38 gleich große Räume. Das Rad dreht sich und eine Kugel landet zufällig auf einem dieser Felder. Zwei Leerzeichen sind grün und haben die Nummern 0 und 00. Die anderen Felder sind von 1 bis 36 nummeriert. Die Hälfte dieser verbleibenden Felder ist rot und die Hälfte schwarz. Es können verschiedene Einsätze gemacht werden, bei denen der Ball landen wird. Eine übliche Wette ist, eine Farbe wie Rot zu wählen und darauf zu wetten, dass der Ball auf einem der 18 roten Felder landet.

Wahrscheinlichkeiten für Roulette

Da die Felder gleich groß sind, landet der Ball wahrscheinlich in allen Feldern. Dies bedeutet, dass ein Roulette-Rad eine gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung beinhaltet. Die Wahrscheinlichkeiten, die wir zur Berechnung unseres Erwartungswerts benötigen, lauten wie folgt:

• Es gibt insgesamt 38 Felder, und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel auf einem bestimmten Feld landet, beträgt 1/38.
• Es gibt 18 rote Felder und daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass Rot auftritt, 18/38.
• Es gibt 20 Felder, die schwarz oder grün sind, und daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass Rot nicht auftritt, 20/38.

Zufällige Variable

Die Nettogewinne bei einem Roulette-Einsatz können als diskrete Zufallsvariable betrachtet werden. Wenn wir 1 $ auf Rot setzen und Rot auftritt, gewinnen wir unseren Dollar und einen weiteren Dollar zurück. Dies führt zu einem Nettogewinn von 1. Wenn wir 1 $ auf Rot setzen und Grün oder Schwarz auftritt, verlieren wir den von uns gesetzten Dollar. Dies ergibt einen Nettogewinn von -1.

Die Zufallsvariable X, definiert als der Nettogewinn aus dem Wetten auf Rot beim Roulette, nimmt den Wert 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 18/38 und den Wert -1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 20/38 an.

Berechnung des erwarteten Wertes

Wir verwenden die obigen Informationen mit der Formel für den erwarteten Wert. Da wir eine diskrete Zufallsvariable X für Nettogewinne haben, ist der erwartete Wert des Einsatzes von 1 $ auf Rot beim Roulette:

P (Rot) x (Wert von X für Rot) + P (Nicht Rot) x (Wert von X für Nicht Rot) = 18/38 x 1 + 20/38 x (-1) = -0,053.

Interpretation der Ergebnisse

Es ist hilfreich, sich die Bedeutung des erwarteten Werts zu merken, um die Ergebnisse dieser Berechnung zu interpretieren. Der erwartete Wert ist in hohem Maße ein Maß für die Mitte oder den Durchschnitt. Es zeigt an, was auf lange Sicht jedes Mal passieren wird, wenn wir $ 1 auf Rot setzen.

Während wir kurzfristig mehrmals hintereinander gewinnen könnten, werden wir auf lange Sicht jedes Mal, wenn wir spielen, durchschnittlich über 5 Cent verlieren. Das Vorhandensein der Felder 0 und 00 reicht gerade aus, um dem Haus einen kleinen Vorteil zu verschaffen. Dieser Vorteil ist so gering, dass es schwierig sein kann, ihn zu erkennen, aber am Ende gewinnt immer das Haus.