So berechnen Sie den erwarteten Wert

Du bist bei einem Karneval und siehst ein Spiel. Für $ 2 würfeln Sie mit einem normalen sechsseitigen Würfel. Wenn die angezeigte Zahl eine Sechs ist, gewinnen Sie 10 $, andernfalls gewinnen Sie nichts. Wenn Sie versuchen, Geld zu verdienen, liegt es in Ihrem Interesse, das Spiel zu spielen? Um eine solche Frage zu beantworten, benötigen wir das Konzept des Erwartungswerts.

Der erwartete Wert kann wirklich als Mittelwert einer Zufallsvariablen angesehen werden. Dies bedeutet, dass der erwartete Wert der Durchschnitt aller erhaltenen Werte ist, wenn Sie ein Wahrscheinlichkeitsexperiment wiederholt durchführen und dabei die Ergebnisse im Auge behalten. Der erwartete Wert ist das, was Sie auf lange Sicht bei vielen Versuchen eines Glücksspiels erwarten sollten.

So berechnen Sie den erwarteten Wert

Das oben erwähnte Karnevalsspiel ist ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable. Die Variable ist nicht stetig und jedes Ergebnis kommt zu uns in einer Zahl, die von den anderen getrennt werden kann. Ermittlung des erwarteten Werts eines Spiels mit Ergebnissen x₁, x₂,… , x_n mit Wahrscheinlichkeiten p₁, p₂,… , p_n, Berechnung:

x₁p₁ + x₂p₂ +… + x_np_n.

Für das obige Spiel haben Sie eine 5/6-Wahrscheinlichkeit, nichts zu gewinnen. Der Wert dieses Ergebnisses ist -2, da Sie 2 US-Dollar ausgegeben haben, um das Spiel zu spielen. Eine Sechs hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, dass sie auftaucht, und dieser Wert hat ein Ergebnis von 8. Warum 8 und nicht 10? Wieder müssen wir die $ 2, die wir gezahlt haben, berücksichtigen und 10 - 2 = 8.

Stecken Sie nun diese Werte und Wahrscheinlichkeiten in die Erwartungswertformel und erhalten Sie: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Dies bedeutet, dass Sie auf lange Sicht jedes Mal, wenn Sie dieses Spiel spielen, durchschnittlich 33 Cent verlieren sollten. Ja, du wirst manchmal gewinnen. Aber du wirst öfter verlieren.

Das Karnevalsspiel Revisited

Angenommen, das Karnevalsspiel wurde geringfügig geändert. Für das gleiche Startgeld von 2 $ gewinnen Sie 12 $, wenn die angezeigte Zahl 6 ist, andernfalls gewinnen Sie nichts. Der erwartete Wert dieses Spiels ist -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Auf lange Sicht werden Sie kein Geld verlieren, aber Sie werden keines gewinnen. Erwarten Sie nicht, ein Spiel mit diesen Zahlen bei Ihrem örtlichen Karneval zu sehen. Wenn Sie auf lange Sicht kein Geld verlieren, wird der Karneval auch kein Geld bringen.

Erwarteter Wert im Casino

Wenden Sie sich nun dem Casino zu. Genauso wie zuvor können wir den erwarteten Wert von Glücksspielen wie Roulette berechnen. In den USA hat ein Rouletterad 38 nummerierte Schlitze von 1 bis 36, 0 und 00. Die Hälfte der 1-36 sind rot, die Hälfte schwarz. Sowohl 0 als auch 00 sind grün. Ein Ball landet zufällig in einem der Slots und Wetten werden dort platziert, wo der Ball landet.

Eine der einfachsten Wetten ist es, auf Rot zu wetten. Wenn Sie hier 1 $ setzen und der Ball auf einer roten Zahl im Rad landet, gewinnen Sie 2 $. Wenn der Ball auf einer schwarzen oder grünen Fläche im Rad landet, gewinnt man nichts. Was ist der erwartete Wert für eine solche Wette? Da es 18 rote Felder gibt, besteht eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 18/38 mit einem Nettogewinn von 1 $. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 20/38, dass Sie Ihren ersten Einsatz von 1 $ verlieren. Der erwartete Wert dieser Wette beim Roulette ist 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, was ungefähr 5,3 Cent entspricht. Hier hat das Haus eine leichte Kante (wie bei allen Casinospielen).

Erwarteter Wert und die Lotterie

Ein weiteres Beispiel ist eine Lotterie. Obwohl Millionen für den Preis eines 1-Dollar-Tickets gewonnen werden können, zeigt der erwartete Wert eines Lotteriespiels, wie unfair es aufgebaut ist. Angenommen, Sie wählen für $ 1 sechs Zahlen von 1 bis 48. Die Wahrscheinlichkeit, alle sechs Zahlen richtig auszuwählen, beträgt 1 / 12,271,512. Wenn Sie eine Million Dollar gewinnen, wenn Sie alle sechs Punkte korrekt erhalten, wie hoch ist der erwartete Wert dieser Lotterie? Die möglichen Werte sind - 1 $ für das Verlieren und 999.999 $ für das Gewinnen (wieder müssen wir die Kosten für das Spielen berücksichtigen und diese von den Gewinnen abziehen). Dies gibt uns einen erwarteten Wert von:

(-1) (12,271,511 / 12,271,512) + (999,999) (1 / 12,271,512) = -.918

Wenn Sie also auf lange Sicht immer wieder Lotto spielen, verlieren Sie bei jedem Spiel ungefähr 92 Cent - fast den gesamten Ticketpreis.

Kontinuierliche Zufallsvariablen

Alle obigen Beispiele betrachten eine diskrete Zufallsvariable. Es ist jedoch auch möglich, den erwarteten Wert für eine kontinuierliche Zufallsvariable zu definieren. In diesem Fall müssen wir nur die Summe in unserer Formel durch ein Integral ersetzen.

Auf lange Sicht

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der erwartete Wert der Durchschnitt nach vielen Versuchen eines zufälligen Prozesses ist. Kurzfristig kann der Durchschnitt einer Zufallsvariablen erheblich vom erwarteten Wert abweichen.