So finden Sie die Wendepunkte einer Normalverteilung

Das Besondere an der Mathematik ist, dass scheinbar nicht miteinander verbundene Bereiche des Fachs auf überraschende Weise zusammenkommen. Ein Beispiel hierfür ist die Anwendung einer Idee aus dem Kalkül auf die Glockenkurve. Ein als Ableitung bekanntes Werkzeug in der Analysis wird verwendet, um die folgende Frage zu beantworten. Wo sind die Wendepunkte im Diagramm der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Normalverteilung??

Wendepunkte

Kurven haben eine Vielzahl von Merkmalen, die klassifiziert und kategorisiert werden können. Ein Punkt im Zusammenhang mit Kurven, den wir berücksichtigen können, ist, ob der Graph einer Funktion zunimmt oder abnimmt. Ein weiteres Merkmal betrifft etwas, das als Konkavität bekannt ist. Dies kann grob als die Richtung angesehen werden, in die ein Teil der Kurve zeigt. Formell konkaver ist die Krümmungsrichtung.

Ein Teil einer Kurve wird als konkav nach oben bezeichnet, wenn sie wie der Buchstabe U geformt ist. Ein Teil einer Kurve ist konkav nach unten, wenn sie wie folgt geformt ist ∩. Man kann sich leicht daran erinnern, wie dies aussieht, wenn man an eine Höhle denkt, die sich entweder nach oben für ein konkaves Auf oder nach unten für ein konkaves Ab öffnet. Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem eine Kurve die Konkavität ändert. Mit anderen Worten, es ist ein Punkt, an dem eine Kurve von konkav nach oben nach unten oder umgekehrt verläuft.

Zweite Derivate

In der Analysis ist die Ableitung ein Werkzeug, das auf verschiedene Arten verwendet wird. Während die bekannteste Verwendung der Ableitung darin besteht, die Steigung einer Linientangente an einer Kurve an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, gibt es andere Anwendungen. Eine dieser Anwendungen hat mit dem Finden von Wendepunkten des Graphen einer Funktion zu tun.

Wenn der Graph von y = f (x) hat einen Wendepunkt bei x = a, dann die zweite Ableitung von f ausgewertet bei ein ist null. Wir schreiben dies in mathematischer Notation als f "(a) = 0. Wenn die zweite Ableitung einer Funktion an einem Punkt Null ist, bedeutet dies nicht automatisch, dass wir einen Wendepunkt gefunden haben. Wir können jedoch nach möglichen Wendepunkten suchen, indem wir sehen, wo die zweite Ableitung Null ist. Wir werden diese Methode verwenden, um den Ort der Wendepunkte der Normalverteilung zu bestimmen.

Wendepunkte der Glockenkurve

Eine Zufallsvariable, die normalerweise mit dem Mittelwert μ und der Standardabweichung von σ verteilt ist, hat eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von

f (x) = 1 / (σ √ (2π)) exp [- (x - μ)²/ (2σ²)].

Hier verwenden wir die Notation exp [y] = e^y, wo e ist die mathematische Konstante, die durch 2.71828 angenähert wird.

Die erste Ableitung dieser Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird durch Kenntnis der Ableitung für gefunden e^x und Anwenden der Kettenregel.

f '(x) = - (x - μ) / (σ³ √ (2 π)) exp [- (x -μ) ²/ (2σ²)] = - (x - μ) f (x) / σ².

Wir berechnen nun die zweite Ableitung dieser Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Wir verwenden die Produktregel, um zu sehen, dass:

f "(x) = - f (x) / σ² - (x - μ) f '(x) / σ²

Wir vereinfachen diesen Ausdruck

f "(x) = - f (x) / σ² + (x - μ)² f (x) / (σ⁴)

Setzen Sie nun diesen Ausdruck auf Null und lösen Sie nach x. Schon seit f (x) ist eine von Null verschiedene Funktion, durch die wir beide Seiten der Gleichung teilen können.