Beispiel für einen Hypothesentest

Ein wichtiger Teil der Inferenzstatistik ist das Testen von Hypothesen. Wie beim Erlernen von mathematischen Themen ist es hilfreich, mehrere Beispiele durchzuarbeiten. Im Folgenden wird ein Beispiel für einen Hypothesentest untersucht und die Wahrscheinlichkeit von Fehlern des Typs I und des Typs II berechnet.

Wir gehen davon aus, dass die einfachen Bedingungen gelten. Insbesondere nehmen wir an, dass wir eine einfache Zufallsstichprobe aus einer Population haben, die entweder normalverteilt ist oder eine Stichprobengröße hat, die groß genug ist, um den zentralen Grenzwertsatz anzuwenden. Wir gehen auch davon aus, dass wir die Populationsstandardabweichung kennen.

Problemstellung

Eine Tüte Kartoffelchips wird nach Gewicht verpackt. Insgesamt werden neun Säcke gekauft, gewogen und das Durchschnittsgewicht dieser neun Säcke beträgt 10,5 Unzen. Angenommen, die Standardabweichung der Grundgesamtheit aller solcher Säcke mit Chips beträgt 0,6 Unzen. Das angegebene Gewicht auf allen Paketen beträgt 11 Unzen. Legen Sie ein Signifikanzniveau von 0,01 fest.

Frage 1

Unterstützt die Stichprobe die Hypothese, dass der wahre Populationsmittelwert weniger als 11 Unzen beträgt??

Wir haben einen Test mit niedrigerem Schwanz. Dies ergibt sich aus der Aussage unserer Null- und Alternativhypothesen:

• H₀ : μ = 11.
• H_ein : μ < 11.

Die Teststatistik wird nach der Formel berechnet

z = (x-bar - μ₀) / (σ / √n) = (10,5 - 11) / (0,6 / √ 9) = -0,5 / 0,2 = -2,5.

Wir müssen jetzt bestimmen, wie wahrscheinlich dieser Wert von z ist allein dem Zufall zuzuschreiben. Mit einer Tabelle von z-Scores sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass z ist kleiner oder gleich -2,5 ist 0,0062. Da dieser p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau ist, lehnen wir die Nullhypothese ab und akzeptieren die Alternativhypothese. Das Durchschnittsgewicht aller Säcke Chips beträgt weniger als 11 Unzen.

Frage 2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I??

Ein Fehler vom Typ I tritt auf, wenn wir eine Nullhypothese ablehnen, die wahr ist. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Fehlers entspricht dem Signifikanzniveau. In diesem Fall haben wir ein Signifikanzniveau von 0,01, dies ist also die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I.

Frage 3

Wenn der Mittelwert der Grundgesamtheit tatsächlich 10,75 Unzen beträgt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ II??

Wir beginnen mit einer Neuformulierung unserer Entscheidungsregel in Bezug auf den Stichprobenmittelwert. Für ein Signifikanzniveau von 0,01 lehnen wir die Nullhypothese ab, wenn z < -2.33. By plugging this value into the formula for the test statistics, we reject the null hypothesis when

(x-bar - 11) / (0,6 / √ 9) < -2.33.

Entsprechend lehnen wir die Nullhypothese ab, wenn 11 - 2,33 (0,2)> x-bar, oder wann x-bar ist weniger als 10.534. Wir können die Nullhypothese für nicht ablehnen x-bar größer oder gleich 10.534. Wenn der wahre Populationsmittelwert 10,75 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass x-bar ist größer oder gleich 10.534 entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass z ist größer als oder gleich -0,22. Diese Wahrscheinlichkeit, bei der es sich um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ II handelt, beträgt 0,587.