Hypothesentest für den Unterschied von zwei Populationsanteilen

In diesem Artikel werden die Schritte beschrieben, die zur Durchführung eines Hypothesentests oder Signifikanztests für die Differenz von zwei Populationsanteilen erforderlich sind. Auf diese Weise können wir zwei unbekannte Anteile vergleichen und daraus schließen, ob sie nicht gleich sind oder ob einer größer als der andere ist.

Überblick über den Hypothesentest und Hintergrund

Bevor wir uns mit den Einzelheiten unseres Hypothesentests befassen, werden wir uns mit dem Rahmen der Hypothesentests befassen. In einem Signifikanztest versuchen wir zu zeigen, dass eine Aussage über den Wert eines Populationsparameters (oder manchmal die Art der Population selbst) wahrscheinlich wahr ist. 

Wir sammeln Beweise für diese Aussage, indem wir eine statistische Stichprobe durchführen. Aus dieser Stichprobe berechnen wir eine Statistik. Der Wert dieser Statistik wird verwendet, um die Wahrheit der ursprünglichen Aussage zu bestimmen. Dieser Prozess enthält Unsicherheiten, die wir jedoch quantifizieren können

Der Gesamtprozess für einen Hypothesentest ergibt sich aus der folgenden Liste:

1. Stellen Sie sicher, dass die für unseren Test erforderlichen Bedingungen erfüllt sind.
2. Geben Sie die Nullhypothese und die Alternativhypothese klar an. Die alternative Hypothese kann einen einseitigen oder einen zweiseitigen Test beinhalten. Wir sollten auch das Signifikanzniveau bestimmen, das mit dem griechischen Buchstaben alpha bezeichnet wird.
3. Berechnen Sie die Teststatistik. Welche Art von Statistik wir verwenden, hängt von dem jeweiligen Test ab, den wir durchführen. Die Berechnung basiert auf unserer statistischen Stichprobe. 
4. Berechnen Sie den p-Wert. Die Teststatistik kann in einen p-Wert übersetzt werden. Ein p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit des Zufalls, die allein den Wert unserer Teststatistik unter der Annahme ergibt, dass die Nullhypothese wahr ist. Die allgemeine Regel lautet: Je kleiner der p-Wert, desto größer die Evidenz gegen die Nullhypothese.
5. Schlussfolgerungen ziehen. Schließlich verwenden wir den Wert von alpha, der bereits als Schwellenwert ausgewählt wurde. Die Entscheidungsregel lautet: Wenn der p-Wert kleiner oder gleich alpha ist, lehnen wir die Nullhypothese ab. Andernfalls lehnen wir die Nullhypothese nicht ab.

Nachdem wir den Rahmen für einen Hypothesentest gesehen haben, werden wir die Einzelheiten für einen Hypothesentest für die Differenz von zwei Populationsanteilen sehen. 

Die Voraussetzungen

Ein Hypothesentest für die Differenz zweier Populationsanteile setzt voraus, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: 

• Wir haben zwei einfache Zufallsstichproben aus großen Populationen. Hier bedeutet "groß", dass die Population mindestens 20-mal größer als die Stichprobengröße ist. Die Stichprobengrößen werden mit bezeichnet n₁ und n₂.
• Die Personen in unseren Stichproben wurden unabhängig voneinander ausgewählt. Die Bevölkerung selbst muss ebenfalls unabhängig sein.
• Es gibt mindestens 10 Erfolge und 10 Misserfolge in unseren beiden Beispielen.

Solange diese Bedingungen erfüllt sind, können wir unseren Hypothesentest fortsetzen.

Die Null- und Alternativhypothesen

Nun müssen wir die Hypothesen für unseren Signifikanztest berücksichtigen. Die Nullhypothese ist unsere Aussage, dass keine Wirkung vorliegt. In dieser speziellen Art von Hypothesentest ist unsere Nullhypothese, dass es keinen Unterschied zwischen den beiden Populationsanteilen gibt. Wir können dies als H schreiben₀: p₁ = p₂.

Die alternative Hypothese ist eine von drei Möglichkeiten, abhängig von den Besonderheiten dessen, worauf wir testen: 

• H_ein: p₁ ist größer als p₂. Dies ist ein einseitiger oder einseitiger Test.
• H_ein: p₁ ist weniger als p₂. Dies ist auch ein einseitiger Test.
• H_ein: p₁ ist ungleich zu p₂. Dies ist ein zweiseitiger oder zweiseitiger Test.

Wie immer sollten wir, um vorsichtig zu sein, die zweiseitige Alternativhypothese verwenden, wenn wir keine Richtung vor Augen haben, bevor wir unsere Stichprobe erhalten. Der Grund dafür ist, dass es schwieriger ist, die Nullhypothese mit einem zweiseitigen Test abzulehnen.

Die drei Hypothesen können unter Angabe des Wie umgeschrieben werden p₁ - p₂ bezieht sich auf den Wert Null. Genauer gesagt würde die Nullhypothese zu H₀:p₁ - p₂ = 0. Die möglichen alternativen Hypothesen würden wie folgt geschrieben:

• H_ein: p₁ - p₂ > 0 entspricht der Aussage "p₁ ist größer als p₂."
• H_ein: p₁ - p₂ < 0 is equivalent to the statement "p₁ ist weniger als p₂."
• H_ein: p₁ - p₂  ≠ 0 entspricht der Aussage "p₁ ist ungleich zu p₂."