Mathematische Eigenschaften von Wellen

Physische Wellen oder mechanische Wellen, bilden sich durch die Schwingung eines Mediums, sei es eine Schnur, die Erdkruste oder Partikel von Gasen und Flüssigkeiten. Wellen haben mathematische Eigenschaften, die analysiert werden können, um die Bewegung der Welle zu verstehen. In diesem Artikel werden diese allgemeinen Welleneigenschaften vorgestellt, anstatt wie sie in bestimmten Situationen in der Physik angewendet werden.

Quer- und Längswellen

Es gibt zwei Arten von mechanischen Wellen.

A ist so, dass die Verschiebungen des Mediums senkrecht (quer) zur Laufrichtung der Welle entlang des Mediums sind. Das Vibrieren einer Saite in periodischer Bewegung, so dass sich die Wellen entlang bewegen, ist eine Transversalwelle, ebenso wie die Wellen im Ozean.

EIN Longitudinalwelle ist so, dass die Verschiebungen des Mediums entlang derselben Richtung wie die Welle selbst hin und her gehen. Ein Beispiel für eine Longitudinalwelle sind Schallwellen, bei denen die Luftpartikel in Fahrtrichtung mitgeschoben werden.

Obwohl sich die in diesem Artikel diskutierten Wellen auf die Bewegung in einem Medium beziehen, kann die hier vorgestellte Mathematik verwendet werden, um die Eigenschaften von nichtmechanischen Wellen zu analysieren. Elektromagnetische Strahlung zum Beispiel kann sich durch den leeren Raum bewegen, hat jedoch die gleichen mathematischen Eigenschaften wie andere Wellen. Zum Beispiel ist der Doppler-Effekt für Schallwellen bekannt, es gibt jedoch einen ähnlichen Doppler-Effekt für Lichtwellen, und sie basieren auf denselben mathematischen Prinzipien.

Was Wellen verursacht?

1. Wellen können als Störung im Medium um einen im Allgemeinen ruhenden Gleichgewichtszustand angesehen werden. Die Energie dieser Störung bewirkt die Wellenbewegung. Ein Wasserbecken befindet sich im Gleichgewicht, wenn keine Wellen vorhanden sind. Sobald jedoch ein Stein hineingeworfen wird, wird das Gleichgewicht der Partikel gestört und die Wellenbewegung beginnt.
2. Die Störung der Welle reist, oder befürwortet, mit einer bestimmten Geschwindigkeit, genannt Wellengeschwindigkeit (v).
3. Wellen transportieren Energie, aber egal. Das Medium selbst reist nicht; die einzelnen Teilchen bewegen sich um die Gleichgewichtsposition hin und her oder auf und ab.

Die Wellenfunktion

Um die Wellenbewegung mathematisch zu beschreiben, verweisen wir auf das Konzept von a Wellenfunktion, welches die Position eines Teilchens im Medium zu jeder Zeit beschreibt. Die grundlegendste der Wellenfunktionen ist die Sinuswelle oder Sinuswelle, die a ist periodische Welle (d. h. eine Welle mit sich wiederholender Bewegung).

Es ist wichtig zu beachten, dass die Wellenfunktion nicht die physikalische Welle darstellt, sondern eine grafische Darstellung der Verschiebung um die Gleichgewichtsposition. Dies kann ein verwirrendes Konzept sein, aber das Nützliche ist, dass wir eine Sinuswelle verwenden können, um die meisten periodischen Bewegungen darzustellen, wie z. B. das Bewegen eines Kreises oder das Schwingen eines Pendels, die beim Betrachten des tatsächlichen nicht unbedingt wellenartig aussehen Bewegung.

Eigenschaften der Wellenfunktion

• Wellengeschwindigkeit (v) - die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung
• Amplitude (EIN) - die maximale Größe der Verschiebung vom Gleichgewicht in SI-Einheiten von Metern. Im Allgemeinen ist es der Abstand vom Gleichgewichtspunkt der Welle zu ihrer maximalen Verschiebung oder es ist die Hälfte der Gesamtverschiebung der Welle.
• Zeitraum (T) - ist die Zeit für einen Wellenzyklus (zwei Impulse oder von Scheitel zu Scheitel oder von Scheitel zu Scheitel) in SI-Einheiten von Sekunden (obwohl dies als "Sekunden pro Zyklus" bezeichnet werden kann).
• Frequenz (f) - die Anzahl der Zyklen in einer Zeiteinheit. Die SI-Einheit der Frequenz ist Hertz (Hz) und

  1 Hz = 1 Zyklus / s = 1 s^-1

• Winkelfrequenz (ω) - ist 2π mal die Frequenz in SI-Einheiten im Bogenmaß pro Sekunde.
• Wellenlänge (λ) - der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten an entsprechenden Positionen bei aufeinanderfolgenden Wiederholungen in der Welle, also (zum Beispiel) von einem Scheitel oder Tal zum nächsten, in SI-Einheiten von Metern. 
• Wellenzahl (k) - auch genannt Ausbreitungskonstante, diese nutzgröße ist definiert als 2 π dividiert durch die Wellenlänge, so sind die SI-Einheiten Bogenmaß pro Meter.
• Impuls - eine halbe Wellenlänge, vom Gleichgewicht zurück

Einige nützliche Gleichungen zur Definition der obigen Größen sind:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Die vertikale Position eines Punktes auf der Welle, y, kann in Abhängigkeit von der horizontalen Position gefunden werden, x, und die zeit, t, wenn wir es uns ansehen. Wir danken den freundlichen Mathematikern für diese Arbeit und erhalten die folgenden nützlichen Gleichungen, um die Wellenbewegung zu beschreiben:

y(x, t) = EIN Sünde ω(t - x/v) = EIN Sünde 2π f(t - x/v)

y(x, t) = EIN Sünde 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = EIN Sünde (ω t - kx)

Die Wellengleichung

Ein letztes Merkmal der Wellenfunktion besteht darin, dass das Anwenden des Kalküls, um die zweite Ableitung zu nehmen, das ergibt Wellengleichung, Das ist ein faszinierendes und manchmal nützliches Produkt (das wir den Mathematikern noch einmal danken und akzeptieren, ohne es zu beweisen):