Maximum und Wendepunkte der Chi-Quadrat-Verteilung
Share
Die mathematische Statistik verwendet Techniken aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, um eindeutig zu beweisen, dass Aussagen zur Statistik wahr sind. Wir werden sehen, wie man mit Hilfe der Berechnung die oben genannten Werte sowohl des Maximalwerts der Chi-Quadrat-Verteilung, der ihrem Modus entspricht, als auch der Wendepunkte der Verteilung bestimmt.
Bevor wir dies tun, werden wir die Eigenschaften von Maxima und Wendepunkten im Allgemeinen diskutieren. Wir werden auch eine Methode untersuchen, um ein Maximum der Wendepunkte zu berechnen.
So berechnen Sie einen Modus mit Calculus
Für einen diskreten Datensatz ist der Modus der am häufigsten vorkommende Wert. In einem Histogramm der Daten würde dies durch den höchsten Balken dargestellt. Sobald wir den höchsten Balken kennen, betrachten wir den Datenwert, der der Basis für diesen Balken entspricht. Dies ist der Modus für unseren Datensatz.
Dieselbe Idee wird beim Arbeiten mit einer kontinuierlichen Verteilung verwendet. Diesmal suchen wir nach dem höchsten Peak in der Verteilung, um den Modus zu finden. Für ein Diagramm dieser Verteilung ist die Höhe des Peaks ein y-Wert. Dieser y-Wert wird als Maximum für unser Diagramm bezeichnet, da der Wert größer als jeder andere y-Wert ist. Der Modus ist der Wert entlang der horizontalen Achse, der diesem maximalen y-Wert entspricht.
Obwohl wir uns einfach ein Diagramm einer Distribution ansehen können, um den Modus zu finden, gibt es einige Probleme mit dieser Methode. Unsere Genauigkeit ist nur so gut wie unser Diagramm, und wir müssen wahrscheinlich schätzen. Es kann auch Probleme bei der grafischen Darstellung unserer Funktion geben.
Eine alternative Methode, für die keine grafische Darstellung erforderlich ist, ist die Verwendung von Berechnungen. Die Methode, die wir verwenden werden, ist wie folgt:
- Beginnen Sie mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (x) für unseren Vertrieb.
- Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung dieser Funktion: f '(x) und f"(x)
- Setzen Sie diese erste Ableitung auf Null f '(x) = 0.
- Lösen für x.
- Stecken Sie den / die Wert (e) aus dem vorherigen Schritt in die zweite Ableitung und werten Sie aus. Wenn das Ergebnis negativ ist, haben wir ein lokales Maximum beim Wert x.
- Bewerten Sie unsere Funktion f (x) an allen Punkten x aus dem vorherigen Schritt.
- Bewerten Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf allen Endpunkten ihrer Unterstützung. Wenn die Domäne der Funktion durch das geschlossene Intervall [a, b] gegeben ist, dann bewerten Sie die Funktion an den Endpunkten ein und b.
- Der größte Wert in den Schritten 6 und 7 ist das absolute Maximum der Funktion. Der x-Wert, bei dem dieses Maximum auftritt, ist der Verteilungsmodus.
Modus der Chi-Quadrat-Verteilung
Nun gehen wir die obigen Schritte durch, um den Modus der Chi-Quadrat-Verteilung mit zu berechnen r Freiheitsgrade. Wir beginnen mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x), die in dem Bild in diesem Artikel angezeigt wird.
f (x) = K xr / 2-1e-x / 2
Hier K ist eine Konstante, die die Gammafunktion und eine Potenz von 2 beinhaltet. Wir müssen die Einzelheiten nicht kennen (wir können uns jedoch auf die Formel im Bild beziehen)..
Die erste Ableitung dieser Funktion wird unter Verwendung der Produktregel sowie der Kettenregel angegeben:
f '( x ) = K (r / 2 - 1)xr / 2-2e-x / 2 - (K / 2) xr / 2-1e-x / 2
Wir setzen diese Ableitung gleich Null und faktorisieren den Ausdruck auf der rechten Seite:
0 = K xr / 2-1e-x / 2 [(r / 2 - 1)x-1 - 1/2]
Da ist die Konstante K, die Exponentialfunktion und xr / 2-1 Sind alle ungleich Null, können wir beide Seiten der Gleichung durch diese Ausdrücke teilen. Wir haben dann:
0 = (r / 2 - 1)x-1 - 1/2
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2:
0 = (r - 2)x-1 - 1
Also 1 = (r - 2)x-1 und wir schließen mit x = r - 2. Dies ist der Punkt entlang der horizontalen Achse, an dem der Modus auftritt. Es zeigt die x Wert des Peaks unserer Chi-Quadrat-Verteilung.
So finden Sie einen Wendepunkt mit Calculus
Ein weiteres Merkmal einer Kurve ist die Art und Weise, wie sie sich krümmt. Teile einer Kurve können konkav nach oben sein, wie ein U in Großbuchstaben. Kurven können auch konkav nach unten sein und die Form eines Schnittpunktsymbols ∩ haben. Wenn sich die Kurve von konkav abwärts nach konkav aufwärts ändert oder umgekehrt, haben wir einen Wendepunkt.
Die zweite Ableitung einer Funktion erfasst die Konkavität des Funktionsgraphen. Wenn die zweite Ableitung positiv ist, ist die Kurve konkav. Wenn die zweite Ableitung negativ ist, ist die Kurve nach unten konkav. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist und der Graph der Funktion die Konkavität ändert, haben wir einen Wendepunkt.
Um die Wendepunkte eines Graphen zu finden, gehen wir wie folgt vor:
- Berechnen Sie die zweite Ableitung unserer Funktion f "(x).
- Setzen Sie diese zweite Ableitung auf Null.
- Lösen Sie die Gleichung aus dem vorherigen Schritt für x.
Wendepunkte für die Chi-Quadrat-Verteilung
Nun sehen wir, wie die obigen Schritte für die Chi-Quadrat-Verteilung durchgeführt werden. Wir beginnen mit der Differenzierung. Aus der obigen Arbeit haben wir gesehen, dass die erste Ableitung für unsere Funktion ist:
f '(x) = K (r / 2 - 1) xr / 2-2e-x / 2 - (K / 2) xr / 2-1e-x / 2
Wir differenzieren noch einmal, indem wir die Produktregel zweimal verwenden. Wir haben:
f"( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)xr / 2-3e-x / 2 - (K / 2) (r / 2 - 1)xr / 2-2e-x / 2 + (K / 4) xr / 2-1e-x / 2 - (K / 2) (r / 2 - 1) xr / 2-2e-x / 2
Wir setzen dies gleich Null und teilen beide Seiten durch Ke-x / 2
0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)xr / 2-3 - (1/2) (r / 2 - 1)xr / 2-2 + (1/ 4) xr / 2-1 - (1/2) (r/ 2 - 1) xr / 2-2
Wenn wir gleiche Begriffe kombinieren, haben wir:
(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)xr / 2-3 - (r / 2 - 1)xr / 2-2 + (1/ 4) xr / 2-1
Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4x3 - r / 2, das gibt uns:
0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x + x2.
Die quadratische Formel kann nun zum Lösen von verwendet werden x.
x = [(2r - 4)+/ - [(2r - 4)2 - 4 (r - 2) (r - 4) ]1/2] / 2
Wir erweitern die Begriffe, die zur 1/2 Potenz genommen werden, und sehen Folgendes:
(4r2 -16r + 16) - 4 (r2 -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)
Das bedeutet, dass:
x = [(2r - 4)+/ - [(4 (2r - 4)]1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]1/2
Daraus sehen wir, dass es zwei Wendepunkte gibt. Darüber hinaus sind diese Punkte bezüglich der Verteilungsart symmetrisch, da (r - 2) auf halbem Wege zwischen den beiden Wendepunkten liegt.
Fazit
Wir sehen, wie diese beiden Merkmale mit der Anzahl der Freiheitsgrade zusammenhängen. Wir können diese Informationen verwenden, um beim Skizzieren einer Chi-Quadrat-Verteilung zu helfen. Wir können diese Verteilung auch mit anderen vergleichen, beispielsweise mit der Normalverteilung. Wir können sehen, dass die Wendepunkte für eine Chi-Quadrat-Verteilung an verschiedenen Stellen auftreten als die Wendepunkte für die Normalverteilung.
