Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Es ist wichtig zu wissen, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet wird. Bestimmte Arten von Ereignissen mit einer Wahrscheinlichkeit werden als unabhängig bezeichnet. Wenn wir zwei unabhängige Ereignisse haben, fragen wir manchmal: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten?" In dieser Situation können wir einfach unsere beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren.

Wir werden sehen, wie die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse verwendet wird. Nachdem wir die Grundlagen durchgearbeitet haben, werden wir die Details einiger Berechnungen sehen.

Definition von unabhängigen Ereignissen

Wir beginnen mit einer Definition von unabhängigen Ereignissen. Wahrscheinlich sind zwei Ereignisse unabhängig, wenn der Ausgang eines Ereignisses keinen Einfluss auf den Ausgang des zweiten Ereignisses hat.

Ein gutes Beispiel für ein Paar unabhängiger Ereignisse ist, wenn wir einen Würfel werfen und dann eine Münze werfen. Die Zahl auf dem Würfel hat keinen Einfluss auf die geworfene Münze. Daher sind diese beiden Ereignisse unabhängig.

Ein Beispiel für ein Paar von Ereignissen, die nicht unabhängig sind, wäre das Geschlecht jedes Babys in einer Gruppe von Zwillingen. Wenn die Zwillinge identisch sind, sind beide männlich oder beide weiblich.

Erklärung der Multiplikationsregel

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse bezieht die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse auf die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten. Um die Regel verwenden zu können, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für jedes der unabhängigen Ereignisse haben. In Anbetracht dieser Ereignisse gibt die Multiplikationsregel an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten, durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ermittelt wird.

Formel für die Multiplikationsregel

Die Multiplikationsregel ist viel einfacher anzugeben und anzuwenden, wenn wir die mathematische Notation verwenden.

Bezeichnen Sie Ereignisse EIN und B und die Wahrscheinlichkeiten von jedem von P (A) und P (B). Wenn EIN und B sind unabhängige Ereignisse, dann:

P (A und B) = P (A) x P (B)

Einige Versionen dieser Formel verwenden noch mehr Symbole. Anstelle des Wortes "und" können wir stattdessen das Kreuzungssymbol verwenden: ∩. Manchmal wird diese Formel als Definition für unabhängige Ereignisse verwendet. Ereignisse sind dann und nur dann unabhängig, wenn P (A und B) = P (A) x P (B).

Beispiel # 1 der Verwendung der Multiplikationsregel

Wir werden anhand einiger Beispiele sehen, wie die Multiplikationsregel angewendet wird. Nehmen wir zunächst an, wir würfeln mit einem sechsseitigen Würfel und werfen dann eine Münze. Diese beiden Ereignisse sind unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes ist 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln und einen Kopf zu bekommen ist 1/6 x 1/2 = 1/12.

Wenn wir diesem Ergebnis skeptisch gegenüberstehen würden, wäre dieses Beispiel so klein, dass alle Ergebnisse aufgelistet werden könnten: (1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T). Wir sehen, dass es zwölf Ergebnisse gibt, von denen alle gleich wahrscheinlich sind. Daher ist die Wahrscheinlichkeit von 1 und einem Kopf 1/12. Die Multiplikationsregel war viel effizienter, da wir nicht den gesamten Probenraum auflisten mussten.

Beispiel # 2 der Verwendung der Multiplikationsregel

Nehmen wir für das zweite Beispiel an, wir ziehen eine Karte aus einem Standardstapel, ersetzen diese Karte, mischen den Stapel und ziehen erneut. Wir fragen dann, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass beide Karten Könige sind. Da wir mit Ersatz gezeichnet haben, sind diese Ereignisse unabhängig und es gilt die Multiplikationsregel. 

Die Wahrscheinlichkeit, einen König für die erste Karte zu ziehen, beträgt 1/13. Die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung einen König zu ziehen, beträgt 1/13. Der Grund dafür ist, dass wir den König ersetzen, den wir vom ersten Mal gezeichnet haben. Da diese Ereignisse unabhängig sind, verwenden wir die Multiplikationsregel, um zu sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, zwei Könige zu ziehen, durch das folgende Produkt gegeben ist: 1/13 x 1/13 = 1/169.