Wahrscheinlichkeiten für das Werfen von drei Würfeln

Würfel liefern großartige Illustrationen für Konzepte mit hoher Wahrscheinlichkeit. Die am häufigsten verwendeten Würfel sind Würfel mit sechs Seiten. Hier sehen wir, wie Wahrscheinlichkeiten für das Werfen von drei Standardwürfeln berechnet werden. Es ist ein relativ normales Problem, die Wahrscheinlichkeit der Summe zu berechnen, die durch Würfeln von zwei Würfeln erhalten wird. Es gibt insgesamt 36 verschiedene Würfe mit zwei Würfeln, wobei eine beliebige Summe von 2 bis 12 möglich ist. Wie ändert sich das Problem, wenn wir mehr Würfel hinzufügen??

Mögliche Ergebnisse und Summen

Genauso wie ein Würfel sechs Ergebnisse hat und zwei Würfel sechs² = 36 Ergebnisse, das Wahrscheinlichkeitsexperiment mit drei Würfeln hat 6³ = 216 Ergebnisse. Diese Idee wird für mehr Würfel weiter verallgemeinert. Wenn wir rollen n Würfel dann gibt es 6ⁿ Ergebnisse.

Wir können auch die möglichen Beträge aus dem Würfeln mehrerer Würfel berücksichtigen. Die kleinstmögliche Summe ergibt sich, wenn alle Würfel die kleinsten sind oder je einer. Dies ergibt eine Summe von drei, wenn wir drei Würfel werfen. Die größte Zahl auf einem Würfel ist sechs, was bedeutet, dass die größtmögliche Summe entsteht, wenn alle drei Würfel sechs sind. Die Summe dieser Situation ist 18.

Wann n Würfel werden gewürfelt, die geringstmögliche Summe ist n und die größtmögliche Summe ist 6n.

Es gibt eine Möglichkeit, wie drei Würfel insgesamt 3 ergeben können
3 Möglichkeiten für 4
6 für 5
10 für 6
15 für 7
21 für 8
25 für 9
27 für 10
27 für 11
25 für 12
21 für 13
15 für 14
10 für 15
6 für 16
3 für 17
1 für 18

Summen bilden

Wie oben erläutert, enthalten die möglichen Summen für drei Würfel jede Zahl von drei bis 18. Die Wahrscheinlichkeiten können berechnet werden, indem Zählstrategien verwendet werden und erkannt wird, dass nach Möglichkeiten gesucht wird, eine Zahl in genau drei ganze Zahlen zu unterteilen. Zum Beispiel ist die einzige Möglichkeit, eine Summe von drei zu erhalten, 3 = 1 + 1 + 1. Da jeder Würfel von den anderen unabhängig ist, kann eine Summe wie vier auf drei verschiedene Arten erhalten werden:

1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1

Weitere Zählargumente können verwendet werden, um die Anzahl von Wegen zum Bilden der anderen Summen zu finden. Die Partitionen für jede Summe lauten wie folgt:

3 = 1 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
17 = 6 + 6 + 5
18 = 6 + 6 + 6

Wenn drei verschiedene Zahlen die Partition bilden, wie z. B. 7 = 1 + 2 + 4, gibt es 3! (3x2x1) verschiedene Arten, diese Zahlen zu permutieren. Dies würde also zu drei Ergebnissen im Probenraum zählen. Wenn zwei verschiedene Nummern die Partition bilden, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, diese Nummern zu permutieren.

Spezifische Wahrscheinlichkeiten

Wir teilen die Gesamtzahl der Möglichkeiten, um jede Summe zu erhalten, durch die Gesamtzahl der Ergebnisse im Stichprobenraum oder durch 216. Die Ergebnisse sind:

Wahrscheinlichkeit einer Summe von 3: 1/216 = 0,5%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 4: 3/216 = 1,4%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 5: 6/216 = 2,8%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 6: 10/216 = 4,6%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 7: 15/216 = 7,0%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 8: 21/216 = 9,7%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 9: 25/216 = 11,6%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 10: 27/216 = 12,5%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 11: 27/216 = 12,5%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 12: 25/216 = 11,6%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 13: 21/216 = 9,7%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 14: 15/216 = 7,0%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 15: 10/216 = 4,6%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 16: 6/216 = 2,8%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 17: 3/216 = 1,4%
Wahrscheinlichkeit einer Summe von 18: 1/216 = 0,5%

Wie zu sehen ist, sind die Extremwerte von 3 und 18 am unwahrscheinlichsten. Die Beträge, die genau in der Mitte liegen, sind am wahrscheinlichsten. Dies entspricht dem, was beobachtet wurde, als zwei Würfel gewürfelt wurden.

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