Wahrscheinlichkeiten im Spielmonopol

Monopoly ist ein Brettspiel, in dem die Spieler den Kapitalismus in die Tat umsetzen können. Spieler kaufen und verkaufen Immobilien und berechnen sich gegenseitig Miete. Obwohl es soziale und strategische Teile des Spiels gibt, bewegen die Spieler ihre Spielsteine auf dem Spielbrett, indem sie zwei normale sechsseitige Würfel werfen. Da dies steuert, wie sich die Spieler bewegen, gibt es auch einen Aspekt der Wahrscheinlichkeit für das Spiel. Wenn wir nur einige Fakten kennen, können wir berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass wir in den ersten beiden Runden zu Beginn des Spiels auf bestimmten Feldern landen.

Der Würfel

In jedem Zug würfelt ein Spieler mit zwei Würfeln und bewegt dann seine Spielfigur um so viele Felder auf dem Brett. Daher ist es hilfreich, die Wahrscheinlichkeiten für das Werfen von zwei Würfeln zu überprüfen. Zusammenfassend sind folgende Beträge möglich:

Eine Summe von zwei hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.
Eine Summe von drei hat Wahrscheinlichkeit 2/36.
Eine Summe von vier hat Wahrscheinlichkeit 3/36.
Eine Summe von fünf hat Wahrscheinlichkeit 4/36.
Eine Summe von sechs hat eine Wahrscheinlichkeit von 5/36.
Eine Summe von sieben hat Wahrscheinlichkeit 6/36.
Eine Summe von acht hat eine Wahrscheinlichkeit von 5/36.
Eine Summe von neun hat Wahrscheinlichkeit 4/36.
Eine Summe von zehn hat Wahrscheinlichkeit 3/36.
Eine Summe von elf hat Wahrscheinlichkeit 2/36.
Eine Summe von zwölf hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.

Diese Wahrscheinlichkeiten werden im weiteren Verlauf sehr wichtig sein.

Das Monopol-Spielbrett

Wir müssen auch das Monopoly-Spielbrett zur Kenntnis nehmen. Es gibt insgesamt 40 Plätze rund um das Spielfeld, von denen 28 erworben werden können. Sechs Felder beinhalten das Ziehen einer Karte von den Zufalls- oder Gemeinschaftskistenstapeln. Drei Räume sind Freiräume, in denen nichts passiert. Zwei Bereiche, in denen Steuern zu zahlen sind: entweder Einkommensteuer oder Luxussteuer. Ein Feld schickt den Spieler ins Gefängnis.

Wir werden nur die ersten beiden Runden eines Monopoly-Spiels betrachten. In diesen Zügen können wir uns am weitesten von der Tafel entfernen, indem wir zweimal zwölf würfeln und insgesamt 24 Felder bewegen. Wir werden also nur die ersten 24 Felder auf der Tafel untersuchen. In der Reihenfolge sind diese Räume:

Mediterranean Avenue
Gemeinschaftskiste
Baltic Avenue
Einkommenssteuer
Leseeisenbahn
Oriental Avenue
Chance
Vermont Avenue
Connecticut Tax
Ich besuche nur das Gefängnis
St. James Place
Elektronikfirma
States Avenue
Virginia Avenue
Pennsylvania Railroad
St. James Place
Gemeinschaftskiste
Tennessee Avenue
New York Avenue
Kostenlose Parkplätze
Kentucky Avenue
Chance
Indiana Avenue
Illinois Avenue

Erste Runde

Die erste Kurve ist relativ einfach. Da wir die Wahrscheinlichkeit haben, zwei Würfel zu werfen, ordnen wir diese einfach den entsprechenden Quadraten zu. Das zweite Feld ist beispielsweise ein Community-Truhenfeld und es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/36, dass eine Summe von zwei gewürfelt wird. Somit besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/36, in der ersten Runde auf Community Chest zu landen.

Nachfolgend sind die Wahrscheinlichkeiten für die Landung auf den folgenden Feldern in der ersten Runde aufgeführt:

Gemeinschaftskiste - 1/36
Baltic Avenue - 2/36
Einkommensteuer - 3/36
Leseeisenbahn - 4/36
Oriental Avenue - 5/36
Chance - 6/36
Vermont Avenue - 5/36
Connecticut Tax - 4/36
Just Visiting Jail - 3/36
St. James Place - 2/36
Electric Company - 1/36

Zweite Runde

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die zweite Runde ist etwas schwieriger. Wir können in beiden Runden insgesamt zwei würfeln und mindestens vier Felder oder in beiden Runden insgesamt 12 Felder und höchstens 24 Felder ausfüllen. Beliebige Leerzeichen zwischen vier und 24 können ebenfalls erreicht werden. Dies kann jedoch auf verschiedene Arten geschehen. Zum Beispiel könnten wir insgesamt sieben Felder verschieben, indem wir eine der folgenden Kombinationen verschieben:

Zwei Felder in der ersten Runde und fünf Felder in der zweiten Runde
Drei Felder in der ersten Runde und vier Felder in der zweiten Runde
Vier Felder in der ersten Runde und drei Felder in der zweiten Runde
Fünf Felder in der ersten Runde und zwei Felder in der zweiten Runde

Wir müssen all diese Möglichkeiten bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen. Die Würfe jeder Runde sind unabhängig von den Würfen der nächsten Runde. Wir brauchen uns also nicht um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu kümmern, sondern müssen nur jede der Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei und dann eine Fünf zu würfeln, ist (1/36) x (4/36) = 4/1296.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Drei und dann eine Vier zu würfeln, ist (2/36) x (3/36) = 6/1296.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Vier und dann eine Drei zu würfeln, ist (3/36) x (2/36) = 6/1296.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Fünf und dann eine Zwei zu würfeln, beträgt (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Gegenseitig ausschließende Hinzufügungsregel

Andere Wahrscheinlichkeiten für zwei Umdrehungen werden auf die gleiche Weise berechnet. Für jeden Fall müssen wir nur alle möglichen Möglichkeiten herausfinden, um eine Gesamtsumme zu erhalten, die dem Quadrat des Spielbretts entspricht. Nachfolgend sind die Wahrscheinlichkeiten (auf das nächste Hundertstel Prozent gerundet) der Landung auf den folgenden Feldern in der ersten Runde aufgeführt:

Einkommensteuer - 0,08%
Leseeisenbahn - 0,31%
Oriental Avenue - 0,77%
Chance - 1,54%
Vermont Avenue - 2,70%
Connecticut Tax - 4,32%
Nur Besuch im Gefängnis - 6.17%
St. James Place - 8,02%
Elektrizitätsunternehmen - 9,65%
States Avenue - 10,80%
Virginia Avenue - 11,27%
Pennsylvania Railroad - 10,80%
St. James Place - 9,65%
Gemeinschaftskiste - 8,02%
Tennessee Avenue 6,17%
New York Avenue 4,32%
Kostenfreies Parken - 2,70%
Kentucky Avenue - 1,54%
Chance - 0.77%
Indiana Avenue - 0,31%
Illinois Avenue - 0,08%

Mehr als drei Runden

Für weitere Kurven wird die Situation noch schwieriger. Ein Grund dafür ist, dass wir nach den Spielregeln ins Gefängnis gehen, wenn wir dreimal hintereinander Doppel würfeln. Diese Regel beeinflusst unsere Wahrscheinlichkeiten auf eine Weise, die wir zuvor nicht berücksichtigen mussten. Zusätzlich zu dieser Regel gibt es Effekte von Zufalls- und Community-Truhenkarten, die wir nicht berücksichtigen. Einige dieser Karten weisen die Spieler an, Felder zu überspringen und direkt auf bestimmte Felder zuzugreifen.

Aufgrund des erhöhten Rechenaufwands wird es mit Monte-Carlo-Methoden einfacher, Wahrscheinlichkeiten für mehr als nur einige Umdrehungen zu berechnen. Computer können Hunderttausende, wenn nicht Millionen von Monopoly-Spielen simulieren, und die Wahrscheinlichkeit der Landung auf jedem Feld kann aus diesen Spielen empirisch berechnet werden.

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