Die Definition des Durchschnitts

In Mathematik und Statistik bezieht sich Durchschnitt auf die Summe einer Gruppe von Werten geteilt durch n, wo n ist die Anzahl der Werte in der Gruppe. Ein Durchschnitt wird auch als Mittelwert bezeichnet.

Wie der Median und der Modus ist der Durchschnitt ein Maß für die zentrale Tendenz, dh er spiegelt einen typischen Wert in einer gegebenen Menge wider. Mittelwerte werden ziemlich regelmäßig verwendet, um die Abschlussnoten während eines Semesters oder Semesters zu bestimmen. Durchschnittswerte werden auch als Maß für die Leistung verwendet. Zum Beispiel drücken Schlagmittelwerte aus, wie oft ein Baseballspieler schlägt, wenn er zum Schlagen bereit ist. Der Kraftstoffverbrauch gibt an, wie weit ein Fahrzeug normalerweise mit einer Gallone Kraftstoff fährt.

Im umgangssprachlichsten Sinne bezieht sich Durchschnitt auf alles, was als gewöhnlich oder typisch angesehen wird.

Mathematischer Durchschnitt

Ein mathematischer Durchschnitt wird berechnet, indem die Summe einer Wertegruppe durch die Anzahl der Werte in der Gruppe dividiert wird. Es wird auch als arithmetisches Mittel bezeichnet. (Andere Mittelwerte, wie z. B. geometrische und harmonische Mittelwerte, werden anhand des Produkts und der Kehrwerte anstelle der Summe berechnet.)

Mit einem kleinen Wertesatz sind nur wenige einfache Schritte erforderlich, um den Durchschnitt zu berechnen. Stellen wir uns zum Beispiel vor, wir möchten das Durchschnittsalter aus einer Gruppe von fünf Personen ermitteln. Ihr jeweiliges Alter ist 12, 22, 24, 27 und 35 Jahre. Zuerst addieren wir diese Werte, um ihre Summe zu ermitteln:

• 12 + 22 + 24 + 27 + 35 = 120

Dann nehmen wir diese Summe und dividieren sie durch die Anzahl der Werte (5):

• 120 ≤ 5 = 24

Das Ergebnis, 24, ist das Durchschnittsalter der fünf Personen.

Mittelwert, Median und Modus

Der Durchschnitt oder Mittelwert ist nicht das einzige Maß für die zentrale Tendenz, obwohl dies eines der häufigsten ist. Die anderen gebräuchlichen Maße sind der Median und der Modus.

Der Median ist der mittlere Wert in einer gegebenen Menge oder der Wert, der die obere Hälfte von der unteren Hälfte trennt. Im obigen Beispiel ist das Durchschnittsalter unter den fünf Personen 24 Jahre, der Wert, der zwischen der oberen Hälfte (27, 35) und der unteren Hälfte (12, 22) liegt. Bei diesem Datensatz sind der Median und der Mittelwert gleich, aber das ist nicht immer der Fall. Wenn beispielsweise die jüngste Person in der Gruppe 7 statt 12 Jahre alt wäre, wäre das Durchschnittsalter 23 Jahre. Der Median wäre jedoch immer noch 24 Jahre.

Für Statistiker kann der Median ein sehr nützliches Maß sein, insbesondere wenn ein Datensatz Ausreißer enthält oder Werte, die sich stark von den anderen Werten im Satz unterscheiden. Im obigen Beispiel sind alle Personen innerhalb von 25 Jahren voneinander entfernt. Aber was wäre, wenn das nicht der Fall wäre? Was wäre, wenn die älteste Person 85 statt 35 wäre? Dieser Ausreißer würde das Durchschnittsalter auf 34 Jahre anheben, was einem Wert von mehr als 80 Prozent der Werte im Satz entspricht. Aufgrund dieses Ausreißers ist der mathematische Durchschnitt keine gute Darstellung des Alters in der Gruppe mehr. Der Median von 24 ist ein viel besseres Maß.

Der Modus ist der häufigste Wert in einem Datensatz oder der Wert, der am wahrscheinlichsten in einer statistischen Stichprobe vorkommt. Im obigen Beispiel gibt es keinen Modus, da jeder einzelne Wert eindeutig ist. In einer größeren Stichprobe von Menschen würde es jedoch wahrscheinlich mehrere Personen desselben Alters geben, und das häufigste Alter wäre der Modus.

Gewichteter Durchschnitt

Im gewöhnlichen Durchschnitt wird jeder Wert in einem bestimmten Datensatz gleich behandelt. Mit anderen Worten, jeder Wert trägt genauso viel zum endgültigen Durchschnitt bei wie die anderen. Im gewichteten Durchschnitt wirken sich einige Werte jedoch stärker auf den endgültigen Durchschnitt aus als andere. Stellen Sie sich zum Beispiel ein Aktienportfolio vor, das aus drei verschiedenen Aktien besteht: Aktie A, Aktie B und Aktie C. Im letzten Jahr stieg der Wert von Aktie A um 10 Prozent, der Wert von Aktie B um 15 Prozent und der Wert von Aktie C um 25 Prozent . Wir können das durchschnittliche prozentuale Wachstum berechnen, indem wir diese Werte addieren und durch drei dividieren. Dies würde uns jedoch nur Aufschluss über das Gesamtwachstum des Portfolios geben, wenn der Eigentümer die gleichen Mengen an Aktien A, Aktien B und Aktien C hielt. Die meisten Portfolios enthalten natürlich eine Mischung aus verschiedenen Aktien, von denen einige einen größeren Prozentsatz ausmachen Portfolio als andere.

Um das Gesamtwachstum des Portfolios zu ermitteln, müssen wir einen gewichteten Durchschnitt berechnen, der darauf basiert, wie viel von jeder Aktie im Portfolio gehalten wird. Zum Beispiel werden wir sagen, dass Aktien A 20 Prozent des Portfolios ausmacht, Aktien B 10 Prozent und Aktien C 70 Prozent.