Die Bedeutung des gegenseitigen Ausschlusses in der Statistik

Wahrscheinlich schließen sich zwei Ereignisse nur dann gegenseitig aus, wenn die Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben. Wenn wir die Ereignisse als Mengen betrachten, würden wir sagen, dass sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist. Wir könnten diese Ereignisse bezeichnen EIN und B schließen sich durch die Formel gegenseitig aus EIN ∩ B = Ø. Wie bei vielen Konzepten aus der Wahrscheinlichkeit helfen einige Beispiele, diese Definition zu verstehen.

Würfeln

Angenommen, wir würfeln mit zwei sechsseitigen Würfeln und addieren die Anzahl der Punkte, die oben auf den Würfeln angezeigt werden. Das Ereignis "Die Summe ist gerade" schließt sich gegenseitig aus dem Ereignis "Die Summe ist ungerade" aus. Der Grund dafür ist, dass es unmöglich ist, dass eine Zahl gerade und ungerade ist.

Nun werden wir das gleiche Wahrscheinlichkeitsexperiment durchführen, bei dem zwei Würfel gewürfelt und die angezeigten Zahlen addiert werden. Dieses Mal betrachten wir das Ereignis, das aus einer ungeraden Summe besteht, und das Ereignis, das aus einer Summe besteht, die größer als neun ist. Diese beiden Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus.

Der Grund dafür ist offensichtlich, wenn wir die Ergebnisse der Ereignisse untersuchen. Das erste Ereignis hat Ergebnisse von 3, 5, 7, 9 und 11. Das zweite Ereignis hat Ergebnisse von 10, 11 und 12. Da 11 in beiden Fällen vorkommt, schließen sich die Ereignisse nicht gegenseitig aus.

Karten zeichnen

Wir veranschaulichen weiter mit einem anderen Beispiel. Angenommen, wir ziehen eine Karte aus einem Standardstapel von 52 Karten. Das Zeichnen eines Herzens schließt sich beim Zeichnen eines Königs nicht gegenseitig aus. Dies liegt daran, dass in beiden Ereignissen eine Karte (der König der Herzen) auftaucht.

Warum spielt es eine Rolle

Manchmal ist es sehr wichtig zu bestimmen, ob sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen oder nicht. Das Wissen, ob zwei Ereignisse sich gegenseitig ausschließen, beeinflusst die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder das andere eintritt.

Kehren Sie zum Kartenbeispiel zurück. Wenn wir eine Karte von einem Standardstapel mit 52 Karten ziehen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir ein Herz oder einen König gezogen haben??

Teilen Sie dies zunächst in einzelne Ereignisse auf. Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass wir ein Herz gezogen haben, zählen wir zunächst die Anzahl der Herzen im Stapel als 13 und dividieren sie dann durch die Gesamtzahl der Karten. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Herzens 13/52 beträgt.

Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass wir einen König gezogen haben, zählen wir zunächst die Gesamtzahl der Könige, woraus sich vier ergeben, und dividieren dann durch die Gesamtzahl der Karten (52). Die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen König gezogen haben, beträgt 4/52.

Das Problem ist nun, die Wahrscheinlichkeit zu finden, einen König oder ein Herz zu zeichnen. Hier müssen wir vorsichtig sein. Es ist sehr verlockend, die Wahrscheinlichkeiten von 13/52 und 4/52 einfach zusammenzurechnen. Dies wäre nicht korrekt, da sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig ausschließen. Der König der Herzen wurde bei diesen Wahrscheinlichkeiten zweimal gezählt. Um der Doppelzählung entgegenzuwirken, müssen wir die Wahrscheinlichkeit subtrahieren, einen König und ein Herz zu ziehen, was 1/52 ist. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir entweder einen König oder ein Herz gezogen haben, 16/52.

Sonstige Verwendungen, die sich gegenseitig ausschließen

Eine als Additionsregel bekannte Formel bietet eine alternative Möglichkeit, ein Problem wie das oben beschriebene zu lösen. Die Additionsregel bezieht sich tatsächlich auf einige Formeln, die eng miteinander verwandt sind. Wir müssen wissen, ob sich unsere Ereignisse gegenseitig ausschließen, um zu wissen, welche Additionsformel angemessen ist.